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Beliebt Trigonometrie >

-1-tan(x)=sec(x)

Lösung

- 1 - tan (x) = sec (x)

Lösung

x = π + 2 πn

Grad

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 1 - tan (x) = sec (x)

Subtrahiere

sec (x)

von beiden Seiten

- 1 - tan (x) - sec (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

- 1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} = 0

Vereinfache

- 1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

- 1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

= - 1 + \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{- cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

\frac{- cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos (x) - sin (x) - 1 = 0

Füge

sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

- cos (x) - 1 = sin (x)

Quadriere beide Seiten

(- cos (x) - 1)^{2} = sin^{2} (x)

Subtrahiere

sin^{2} (x)

von beiden Seiten

(- cos (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(- 1 - cos (x))^{2} - sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (- 1 - cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

(- 1 - cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x)) : 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x)

(- 1 - cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x))

(- 1 - cos (x))^{2} : 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = - 1, b = cos (x)

= (- 1)^{2} - 2 (- 1) cos (x) + cos^{2} (x)

Vereinfache

(- 1)^{2} - 2 (- 1) cos (x) + cos^{2} (x) : 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

(- 1)^{2} - 2 (- 1) cos (x) + cos^{2} (x)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x))

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x)

Vereinfache

1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) : 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x)

1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos (x) + cos^{2} (x) + cos^{2} (x) + 1 - 1

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 2 cos^{2} (x)

= 2 cos (x) + 2 cos^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x)

= 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x)

= 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x)

2 cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

2 cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

2 u + 2 u^{2} = 0

2 u + 2 u^{2} = 0 : u = 0, u = - 1

2 u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 2 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 2 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 2

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 2 - 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 2 + 2}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- 2 + 2}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

u = \frac{- 2 - 2}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 2 - 2}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 2 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = - 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 0, cos (x) = - 1

cos (x) = 0, cos (x) = - 1

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

- 1 - tan (x) = sec (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

- 1 - tan (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

- 1 - tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) = sec (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

- \infty = \infty

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

- 1 - tan (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

- 1 - tan (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = sec (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

- \infty = - \infty

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

- 1 - tan (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

- 1 - tan (π + 2 π 1) = sec (π + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1 = - 1

\Rightarrow Wahr

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

\frac{3 π}{2} + 2 πn

x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

6tan^2(θ)+10tan(θ)=9tan(θ)+2

6 tan^{2} (θ) + 10 tan (θ) = 9 tan (θ) + 2

2sin(z)=1

2 sin (z) = 1

cos(pi/2-θ)=-sin(θ)

cos (\frac{π}{2} - θ) = - sin (θ)

sin(θ)cos(θ)-2sin(θ)=0

sin (θ) cos (θ) - 2 sin (θ) = 0

2sin(2x-pi/3)=1

2 sin (2 x - \frac{π}{3}) = 1