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Popolare Trigonometria >

solvefor x,sqrt(1+sin^3(xy^2))=y

Soluzione

risolvere per

x, 1 + sin^{3} (x y^{2}) = y

Soluzione

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}, x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}

Radianti

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 π}{y ^{2}} n, x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 π}{y ^{2}} n

Fasi della soluzione

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y

Eleva entrambi i lati al quadrato:

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y

(1 + sin^{3} (x y^{2}))^{2} = y^{2}

Espandere

(1 + sin^{3} (x y^{2}))^{2} : 1 + sin^{3} (x y^{2})

(1 + sin^{3} (x y^{2}))^{2}

Applicare la regola della radice:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 + sin^{3} (x y^{2}))^{\frac{1}{2}})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 + sin^{3} (x y^{2}))^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= 1 + sin^{3} (x y^{2})

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

Risolvi

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2} : sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + sin^{3} (x y^{2}) - 1 = y^{2} - 1

Semplificare

sin^{3} (x y^{2}) = y^{2} - 1

sin^{3} (x y^{2}) = y^{2} - 1

Per

x^{n} = f (a)

, n è dispari, la soluzione è

x = n f (a)

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

Verificare le soluzioni:

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1 {y \geq 0}

Verifica le soluzioni sostituendole in

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Inserisci

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1 : 1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y \Rightarrow y \geq 0

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y

Eleva entrambi i lati al quadrato:

y^{2} = y^{2}

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y

(1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{2} = y^{2}

Espandere

(1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{2} : y^{2}

(1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{2}

Applicare la regola della radice:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{\frac{1}{2}})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= 1 + (3 y^{2} - 1)^{3}

Espandere

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} : y^{2}

1 + (3 y^{2} - 1)^{3}

(3 y^{2} - 1)^{3} = y^{2} - 1

(3 y^{2} - 1)^{3}

Applicare la regola della radice:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= ((y^{2} - 1)^{\frac{1}{3}})^{3}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (y^{2} - 1)^{\frac{1}{3} \cdot 3}

\frac{1}{3} \cdot 3 = 1

\frac{1}{3} \cdot 3

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= 1

= y^{2} - 1

= 1 + y^{2} - 1

Raggruppa termini simili

= y^{2} + 1 - 1

1 - 1 = 0

= y^{2}

= y^{2}

y^{2} = y^{2}

y^{2} = y^{2}

Entrambi i lati sono uguali

Vero per tutte y

Verificare le soluzioni:

y < 0

Falso

, y = 0

Vero

, y > 0

Vero

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y

Combina l'intervallo di dominio con l'intervallo di soluzione:

Vero per tutte y

Trova gli intervalli della funzione::

y < 0, y = 0, y > 0

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y

Trova le radici pari gli argomenti zeri:

Risolvi

1 + 3 y^{2} - 1^{3} = 0 : y = 0

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = 0

Fattorizza

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} : (3 y^{2} - 1 + 1) ((y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1)

1 + (3 y^{2} - 1)^{3}

Riscrivi

1

come

1^{3}

= (3 y^{2} - 1)^{3} + 1^{3}

Applicare la formula somma di cubi di:

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

(3 y^{2} - 1)^{3} + 1^{3} = (3 y^{2} - 1 + 1) ((3 y^{2} - 1)^{2} - 3 y^{2} - 1 + 1)

= (3 y^{2} - 1 + 1) ((3 y^{2} - 1)^{2} - 3 y^{2} - 1 + 1)

(3 y^{2} - 1)^{2} = (y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}}

(3 y^{2} - 1)^{2}

Applicare la regola della radice:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= ((y^{2} - 1)^{\frac{1}{3}})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (y^{2} - 1)^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= (y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}}

= (3 y^{2} - 1 + 1) ((y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1)

(3 y^{2} - 1 + 1) ((y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

3 y^{2} - 1 + 1 = 0 or (y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Risolvi

3 y^{2} - 1 + 1 = 0 : y = 0

3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

3 y^{2} - 1 + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

3 y^{2} - 1 = - 1

3 y^{2} - 1 = - 1

Eleva entrambi i lati dell'equazione alla potenza di

3 : y^{2} - 1 = - 1

3 y^{2} - 1 = - 1

(3 y^{2} - 1)^{3} = (- 1)^{3}

Espandere

(3 y^{2} - 1)^{3} : y^{2} - 1

(3 y^{2} - 1)^{3}

Applicare la regola della radice:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= ((y^{2} - 1)^{\frac{1}{3}})^{3}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (y^{2} - 1)^{\frac{1}{3} \cdot 3}

\frac{1}{3} \cdot 3 = 1

\frac{1}{3} \cdot 3

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= 1

= y^{2} - 1

Espandere

(- 1)^{3} : - 1

(- 1)^{3}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = - a^{n},

n

è dispari

(- 1)^{3} = - 1^{3}

= - 1^{3}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= - 1

y^{2} - 1 = - 1

y^{2} - 1 = - 1

Risolvi

y^{2} - 1 = - 1 : y = 0

y^{2} - 1 = - 1

Spostare

1

a destra dell'equazione

y^{2} - 1 = - 1

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

y^{2} - 1 + 1 = - 1 + 1

Semplificare

y^{2} = 0

y^{2} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

y = 0

y = 0

Verificare le soluzioni:

y = 0

Vero

Verifica le soluzioni sostituendole in

3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Inserire in

y = 0 :

Vero

3 0^{2} - 1 + 1 = 0

3 0^{2} - 1 + 1 = 0

3 0^{2} - 1 + 1

Applicare la regola

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 3 0 - 1 + 1

3 0 - 1 = - 1

3 0 - 1

Sottrai i numeri:

0 - 1 = - 1

= 3 - 1

n - 1 = - 1,

n

è dispari

3 - 1 = - 1

= - 1

= - 1 + 1

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 1 = 0

= 0

0 = 0

Vero

La soluzione è

y = 0

Risolvi

(y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1 = 0 :

Nessuna soluzione per

y \in R

(y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Usa la seguente proprietà dell'esponente

: a^{\frac{n}{m}} = (m a)^{n}

(y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} = (3 y^{2} - 1)^{2}

(3 y^{2} - 1)^{2} - 3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Riscrivi l'equazione con

3 y^{2} - 1 = u

u^{2} - u + 1 = 0

Risolvi

u^{2} - u + 1 = 0 :

Nessuna soluzione per

u \in R

u^{2} - u + 1 = 0

Discriminante

u^{2} - u + 1 = 0 : - 3

u^{2} - u + 1 = 0

Per un' equazione quadratica nella forma

a x^{2} + b x + c = 0

il discriminante è

b^{2} - 4 a c

Per

a = 1, b = - 1, c = 1 : (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Espandere

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 : - 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 - 4

Sottrai i numeri:

1 - 4 = - 3

= - 3

- 3

Il discriminante non può essere negativo per

u \in R

La soluzione è

Nessuna soluzione per u \in R

Nessuna soluzione per y \in R

y = 0

Verificare le soluzioni:

y = 0

Vero

Verifica le soluzioni sostituendole in

1 + 3 y^{2} - 1^{3} = 0

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Inserire in

y = 0 :

Vero

1 + (3 0^{2} - 1)^{3} = 0

1 + (3 0^{2} - 1)^{3} = 0

1 + (3 0^{2} - 1)^{3}

Applicare la regola

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 1 + (3 0 - 1)^{3}

(3 0 - 1)^{3} = - 1

(3 0 - 1)^{3}

3 0 - 1 = - 1

3 0 - 1

Sottrai i numeri:

0 - 1 = - 1

= 3 - 1

n - 1 = - 1,

n

è dispari

3 - 1 = - 1

= - 1

= (- 1)^{3}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = - a^{n},

n

è dispari

(- 1)^{3} = - 1^{3}

= - 1^{3}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= - 1

= 1 - 1

Sottrai i numeri:

1 - 1 = 0

= 0

0 = 0

Vero

La soluzione è

y = 0

y = 0

Gli intervalli sono definiti intorno ai zeri:

y < 0, y = 0, y > 0

Combinare gli intervalli con il dominio

y < 0, y = 0, y > 0

Verifica le soluzioni sostituendole in

1 + 3 y^{2} - 1^{3} = y

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Inserire

y < 0 : 1 + 3 y^{2} - 1^{3} \neq = y \Rightarrow

Falso

La soluzione è

y \geq 0

La soluzione è

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1 {y \geq 0}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

Soluzioni generali per

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn, x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn, x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn

Risolvi

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn : x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

y^{2}; y \neq = 0

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

y^{2}; y \neq = 0

\frac{x y ^{2}}{y ^{2}} = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

Semplificare

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

Risolvi

x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn : x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

y^{2}; y \neq = 0

x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

y^{2}; y \neq = 0

\frac{x y ^{2}}{y ^{2}} = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

Semplificare

x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}, x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}

Grafico

Esempi popolari

sin((2x)/3)-1=0

sin (\frac{2 x}{3}) - 1 = 0

4sin^2(x)+1=4

4 sin^{2} (x) + 1 = 4

-sin^2(x)=-3+3sin^2(x)

- sin^{2} (x) = - 3 + 3 sin^{2} (x)

cos(3x)=0.5

cos (3 x) = 0.5

5cos^2(x)+cos(x)=0

5 cos^{2} (x) + cos (x) = 0