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人気のある三角関数 >

cot(θ)+4csc(θ)=6

解

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

解

θ = 0.88277 \dots + 2 πn, θ = 2.58911 \dots + 2 πn

+1

度

θ = 50.57910 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 148.34553 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

両辺から

6

を引く

cot (θ) + 4 csc (θ) - 6 = 0

サイン, コサインで表わす

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6 = 0

簡素化

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6 : \frac{cos ( θ ) + 4 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6

4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{4}{sin ( θ )}

4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{sin ( θ )}

数を乗じる:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{4}{sin ( θ )} - 6

分数を組み合わせる

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{4}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 4}{sin ( θ )}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 4}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 4}{sin ( θ )} - 6

元を分数に変換する:

6 = \frac{6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 4}{sin ( θ )} - \frac{6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 4 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 4 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 4 - 6 sin (θ) = 0

両辺に

6 sin (θ)

を足す

cos (θ) + 4 = 6 sin (θ)

両辺を2乗する

(cos (θ) + 4)^{2} = (6 sin (θ))^{2}

両辺から

(6 sin (θ))^{2}

を引く

(cos (θ) + 4)^{2} - 36 sin^{2} (θ) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

(4 + cos (θ))^{2} - 36 sin^{2} (θ)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (4 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

簡素化

(4 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ)) : 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

(4 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

(4 + cos (θ))^{2} : 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ)

完全平方式を適用する:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 4, b = cos (θ)

= 4^{2} + 2 \cdot 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

簡素化

4^{2} + 2 \cdot 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ)

4^{2} + 2 \cdot 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

4^{2} = 16

= 16 + 2 \cdot 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

数を乗じる:

2 \cdot 4 = 8

= 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 (1 - cos^{2} (θ))

拡張

- 36 (1 - cos^{2} (θ)) : - 36 + 36 cos^{2} (θ)

- 36 (1 - cos^{2} (θ))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = - 36, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 36 \cdot 1 - (- 36) cos^{2} (θ)

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a

= - 36 \cdot 1 + 36 cos^{2} (θ)

数を乗じる:

36 \cdot 1 = 36

= - 36 + 36 cos^{2} (θ)

= 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

簡素化

16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ) : 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

条件のようなグループ

= 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 36 cos^{2} (θ) + 16 - 36

類似した元を足す:

cos^{2} (θ) + 36 cos^{2} (θ) = 37 cos^{2} (θ)

= 8 cos (θ) + 37 cos^{2} (θ) + 16 - 36

数を足す/引く:

16 - 36 = - 20

= 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

= 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

= 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

- 20 + 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) = 0

置換で解く

- 20 + 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) = 0

仮定:

cos (θ) = u

- 20 + 37 u^{2} + 8 u = 0

- 20 + 37 u^{2} + 8 u = 0 : u = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}, u = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

- 20 + 37 u^{2} + 8 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

37 u^{2} + 8 u - 20 = 0

解くとthe二次式

37 u^{2} + 8 u - 20 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 37, b = 8, c = - 20

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 37 ( - 20 )}{2 \cdot 37}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 37 ( - 20 )}{2 \cdot 37}

8^{2} - 4 \cdot 37 (- 20) = 1221

8^{2} - 4 \cdot 37 (- 20)

規則を適用

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 37 \cdot 20

数を乗じる:

4 \cdot 37 \cdot 20 = 2960

= 8^{2} + 2960

8^{2} = 64

= 64 + 2960

数を足す:

64 + 2960 = 3024

= 3024

以下の素因数分解:

3024 : 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 7

3024

302423024 = 1512 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 1512

151221512 = 756 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 756

7562756 = 378 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 378

3782378 = 189 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 189

1893189 = 63 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 63

63363 = 21 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 21

21321 = 7 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 7

= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 7

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3 \cdot 7

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 2^{4} 3^{2} 3 \cdot 7

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3^{2} 3 \cdot 7

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{2} \cdot 3 3 \cdot 7

改良

= 1221

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 12 21}{2 \cdot 37}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 8 + 12 21}{2 \cdot 37}, u_{2} = \frac{- 8 - 12 21}{2 \cdot 37}

u = \frac{- 8 + 12 21}{2 \cdot 37} : \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

\frac{- 8 + 12 21}{2 \cdot 37}

数を乗じる:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 8 + 12 21}{74}

因数

- 8 + 1221 : 4 (- 2 + 321)

- 8 + 1221

書き換え

= - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 321

共通項をくくり出す

4

= 4 (- 2 + 321)

= \frac{4 ( - 2 + 3 21 )}{74}

共通因数を約分する:

2

= \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

u = \frac{- 8 - 12 21}{2 \cdot 37} : - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

\frac{- 8 - 12 21}{2 \cdot 37}

数を乗じる:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 8 - 12 21}{74}

因数

- 8 - 1221 : - 4 (2 + 321)

- 8 - 1221

書き換え

= - 4 \cdot 2 - 4 \cdot 321

共通項をくくり出す

4

= - 4 (2 + 321)

= - \frac{4 ( 2 + 3 21 )}{74}

共通因数を約分する:

2

= - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

二次equationの解:

u = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}, u = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}, cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}, cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37} : θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

以下の一般解

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37} : θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

以下の一般解

cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

の挿入向け

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1

cot (arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1) + 4 csc (arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1) = 6

改良

6 = 6

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

の挿入向け

θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1

cot (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1) + 4 csc (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1) = 6

改良

- 6 = 6

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn :

真

arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

の挿入向け

θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1

cot (arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1) + 4 csc (arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1) = 6

改良

6 = 6

\Rightarrow 真

解答を確認する

- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn :

偽

- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

の挿入向け

θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1

cot (- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1) + 4 csc (- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1) = 6

改良

- 6 = 6

\Rightarrow 偽

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

θ = 0.88277 \dots + 2 πn, θ = 2.58911 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

sin(x)sqrt(2)=-sin(x)

sin (x) 2 = - sin (x)

sin^2(x)-9cos(x)-9=0

sin^{2} (x) - 9 cos (x) - 9 = 0

sin (a) = \frac{8}{17}

cot (t) = 1

4 sin (x) + 3 = 5