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Beliebt Trigonometrie >

cot(θ)+2csc(θ)=3

Lösung

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

Lösung

θ = 1.00646 \dots + 2 πn, θ = 2.77862 \dots + 2 πn

Grad

θ = 57.66646 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 159.20342 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

cot (θ) + 2 csc (θ) - 3 = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 3 = 0

Vereinfache

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 3 : \frac{cos ( θ ) + 2 - 3 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 3

2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{2}{sin ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{2}{sin ( θ )} - 3

Ziehe Brüche zusammen

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{2}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )} - 3

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 = \frac{3 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )} - \frac{3 sin ( θ )}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 2 - 3 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 2 - 3 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 2 - 3 sin (θ) = 0

Füge

3 sin (θ)

zu beiden Seiten hinzu

cos (θ) + 2 = 3 sin (θ)

Quadriere beide Seiten

(cos (θ) + 2)^{2} = (3 sin (θ))^{2}

Subtrahiere

(3 sin (θ))^{2}

von beiden Seiten

(cos (θ) + 2)^{2} - 9 sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(2 + cos (θ))^{2} - 9 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 + cos (θ))^{2} - 9 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

(2 + cos (θ))^{2} - 9 (1 - cos^{2} (θ)) : 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 5

(2 + cos (θ))^{2} - 9 (1 - cos^{2} (θ))

(2 + cos (θ))^{2} : 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 2, b = cos (θ)

= 2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Vereinfache

2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} = 4

= 4 + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 9 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 9 (1 - cos^{2} (θ)) : - 9 + 9 cos^{2} (θ)

- 9 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) cos^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 9 + 9 cos^{2} (θ)

Vereinfache

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 9 + 9 cos^{2} (θ) : 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 5

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 9 + 9 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 9 cos^{2} (θ) + 4 - 9

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (θ) + 9 cos^{2} (θ) = 10 cos^{2} (θ)

= 4 cos (θ) + 10 cos^{2} (θ) + 4 - 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

4 - 9 = - 5

= 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 5

= 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 5

= 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 5

- 5 + 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 5 + 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0 : u = \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = - \frac{2 + 3 6}{10}

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} + 4 u - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

10 u^{2} + 4 u - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 10, b = 4, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 5 )}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 5 )}{2 \cdot 10}

4^{2} - 4 \cdot 10 (- 5) = 66

4^{2} - 4 \cdot 10 (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 5 = 200

= 4^{2} + 200

4^{2} = 16

= 16 + 200

Addiere die Zahlen:

16 + 200 = 216

= 216

Primfaktorzerlegung von

216 : 2^{3} \cdot 3^{3}

216

216

ist durch

2216 = 108 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 108

108

ist durch

2108 = 54 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 54

54

ist durch

254 = 27 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27

ist durch

327 = 9 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{3}

= 2^{3} \cdot 3^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 2 \cdot 3

Fasse zusammen

= 66

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 6 6}{2 \cdot 10}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10}

u = \frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10} : \frac{- 2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 + 6 6}{20}

Faktorisiere

- 4 + 66 : 2 (- 2 + 36)

- 4 + 66

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 36

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 2 + 36)

= \frac{2 ( - 2 + 3 6 )}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 2 + 3 6}{10}

u = \frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10} : - \frac{2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 - 6 6}{20}

Faktorisiere

- 4 - 66 : - 2 (2 + 36)

- 4 - 66

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 36

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (2 + 36)

= - \frac{2 ( 2 + 3 6 )}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{2 + 3 6}{10}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = - \frac{2 + 3 6}{10}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{- 2 + 3 6}{10}, cos (θ) = - \frac{2 + 3 6}{10}

cos (θ) = \frac{- 2 + 3 6}{10}, cos (θ) = - \frac{2 + 3 6}{10}

cos (θ) = \frac{- 2 + 3 6}{10} : θ = arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 + 3 6}{10} : θ = arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 + 3 6}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{2 + 3 6}{10}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{2 + 3 6}{10}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

ein, um zu lösen

cot (arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) + 2 csc (arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

Setze

θ = 2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

ein, um zu lösen

cot (2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) + 2 csc (2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

- 3 = 3

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

ein, um zu lösen

cot (arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) + 2 csc (arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

Setze

θ = - arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

ein, um zu lösen

cot (- arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) + 2 csc (- arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

- 3 = 3

\Rightarrow Falsch

θ = arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.00646 \dots + 2 πn, θ = 2.77862 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(x)=2sin(x)+2

cos^{2} (x) = 2 sin (x) + 2

2sin^2(x)-4sin(x)-6=0

2 sin^{2} (x) - 4 sin (x) - 6 = 0

cos^2(2x)= 1/2-1/2 cos(2x)

cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x)

2sin(A)-sqrt(3)=0

2 sin (A) - 3 = 0

sqrt(3)sec(3x)=2

3 sec (3 x) = 2