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受欢迎的三角函数 >

cot(θ)+2csc(θ)=3

解答

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

解答

θ = 1.00646 \dots + 2 πn, θ = 2.77862 \dots + 2 πn

+1

度数

θ = 57.66646 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 159.20342 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

两边减去

3

cot (θ) + 2 csc (θ) - 3 = 0

用 sin, cos 表示

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 3 = 0

化简

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 3 : \frac{cos ( θ ) + 2 - 3 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 3

2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{2}{sin ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( θ )}

数字相乘:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{2}{sin ( θ )} - 3

合并分式

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{2}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )} - 3

将项转换为分式:

3 = \frac{3 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )} - \frac{3 sin ( θ )}{sin ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 2 - 3 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 2 - 3 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 2 - 3 sin (θ) = 0

两边加上

3 sin (θ)

cos (θ) + 2 = 3 sin (θ)

两边进行平方

(cos (θ) + 2)^{2} = (3 sin (θ))^{2}

两边减去

(3 sin (θ))^{2}

(cos (θ) + 2)^{2} - 9 sin^{2} (θ) = 0

使用三角恒等式改写

(2 + cos (θ))^{2} - 9 sin^{2} (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 + cos (θ))^{2} - 9 (1 - cos^{2} (θ))

化简

(2 + cos (θ))^{2} - 9 (1 - cos^{2} (θ)) : 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 5

(2 + cos (θ))^{2} - 9 (1 - cos^{2} (θ))

(2 + cos (θ))^{2} : 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

使用完全平方公式:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 2, b = cos (θ)

= 2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

化简

2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} = 4

= 4 + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

数字相乘:

2 \cdot 2 = 4

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 9 (1 - cos^{2} (θ))

乘开

- 9 (1 - cos^{2} (θ)) : - 9 + 9 cos^{2} (θ)

- 9 (1 - cos^{2} (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) cos^{2} (θ)

使用加减运算法则

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 cos^{2} (θ)

数字相乘:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 9 + 9 cos^{2} (θ)

化简

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 9 + 9 cos^{2} (θ) : 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 5

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 9 + 9 cos^{2} (θ)

对同类项分组

= 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 9 cos^{2} (θ) + 4 - 9

同类项相加:

cos^{2} (θ) + 9 cos^{2} (θ) = 10 cos^{2} (θ)

= 4 cos (θ) + 10 cos^{2} (θ) + 4 - 9

数字相加/相减:

4 - 9 = - 5

= 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 5

= 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 5

= 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 5

- 5 + 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) = 0

用替代法求解

- 5 + 10 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) = 0

令

: cos (θ) = u

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0 : u = \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = - \frac{2 + 3 6}{10}

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} + 4 u - 5 = 0

使用求根公式求解

10 u^{2} + 4 u - 5 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 10, b = 4, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 5 )}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 5 )}{2 \cdot 10}

4^{2} - 4 \cdot 10 (- 5) = 66

4^{2} - 4 \cdot 10 (- 5)

使用法则

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 5

数字相乘:

4 \cdot 10 \cdot 5 = 200

= 4^{2} + 200

4^{2} = 16

= 16 + 200

数字相加:

16 + 200 = 216

= 216

216

质因数分解:

2^{3} \cdot 3^{3}

216

216

除以

2216 = 108 \cdot 2

= 2 \cdot 108

108

除以

2108 = 54 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 54

54

除以

254 = 27 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27

除以

327 = 9 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

9

除以

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{3}

= 2^{3} \cdot 3^{3}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 3

使用根式运算法则:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3^{2} 2 \cdot 3

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 2 \cdot 3

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 2 \cdot 3

整理后得

= 66

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 6 6}{2 \cdot 10}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10}

u = \frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10} : \frac{- 2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10}

数字相乘:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 + 6 6}{20}

分解

- 4 + 66 : 2 (- 2 + 36)

- 4 + 66

改写为

= - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 36

因式分解出通项

2

= 2 (- 2 + 36)

= \frac{2 ( - 2 + 3 6 )}{20}

约分:

2

= \frac{- 2 + 3 6}{10}

u = \frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10} : - \frac{2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10}

数字相乘:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 - 6 6}{20}

分解

- 4 - 66 : - 2 (2 + 36)

- 4 - 66

改写为

= - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 36

因式分解出通项

2

= - 2 (2 + 36)

= - \frac{2 ( 2 + 3 6 )}{20}

约分:

2

= - \frac{2 + 3 6}{10}

二次方程组的解是:

u = \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = - \frac{2 + 3 6}{10}

u = cos (θ)

代回

cos (θ) = \frac{- 2 + 3 6}{10}, cos (θ) = - \frac{2 + 3 6}{10}

cos (θ) = \frac{- 2 + 3 6}{10}, cos (θ) = - \frac{2 + 3 6}{10}

cos (θ) = \frac{- 2 + 3 6}{10} : θ = arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

使用反三角函数性质

cos (θ) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

cos (θ) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

的通解

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 + 3 6}{10} : θ = arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 + 3 6}{10}

使用反三角函数性质

cos (θ) = - \frac{2 + 3 6}{10}

cos (θ) = - \frac{2 + 3 6}{10}

的通解

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

合并所有解

θ = arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

将解代入原方程进行验证

将它们代入

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

检验解是否符合

去除与方程不符的解。

检验

arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

的解:

真

arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

代入

n = 1

arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

对于

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

代入

θ = arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

cot (arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) + 2 csc (arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 3

整理后得

3 = 3

\Rightarrow 真

检验

2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

的解:

假

2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

代入

n = 1

2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

对于

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

代入

θ = 2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

cot (2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) + 2 csc (2 π - arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 3

整理后得

- 3 = 3

\Rightarrow 假

检验

arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

的解:

真

arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

代入

n = 1

arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

对于

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

代入

θ = arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

cot (arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) + 2 csc (arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 3

整理后得

3 = 3

\Rightarrow 真

检验

- arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

的解:

假

- arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

代入

n = 1

- arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

对于

cot (θ) + 2 csc (θ) = 3

代入

θ = - arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

cot (- arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) + 2 csc (- arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 3

整理后得

- 3 = 3

\Rightarrow 假

θ = arccos (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

以小数形式表示解

θ = 1.00646 \dots + 2 πn, θ = 2.77862 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

cos^2(x)=2sin(x)+2

cos^{2} (x) = 2 sin (x) + 2

2sin^2(x)-4sin(x)-6=0

2 sin^{2} (x) - 4 sin (x) - 6 = 0

cos^2(2x)= 1/2-1/2 cos(2x)

cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x)

2sin(A)-sqrt(3)=0

2 sin (A) - 3 = 0

sqrt(3)sec(3x)=2

3 sec (3 x) = 2