解答
sin4(x)+cos4(x)=97
解答
x=0.36486…+2πn,x=2π−0.36486…+2πn,x=2.77672…+2πn,x=−2.77672…+2πn,x=1.20593…+2πn,x=2π−1.20593…+2πn,x=1.93566…+2πn,x=−1.93566…+2πn
+1
度数
x=20.90515…∘+360∘n,x=339.09484…∘+360∘n,x=159.09484…∘+360∘n,x=−159.09484…∘+360∘n,x=69.09484…∘+360∘n,x=290.90515…∘+360∘n,x=110.90515…∘+360∘n,x=−110.90515…∘+360∘n求解步骤
sin4(x)+cos4(x)=97
两边减去 97sin4(x)+cos4(x)−97=0
化简 sin4(x)+cos4(x)−97:99sin4(x)+9cos4(x)−7
sin4(x)+cos4(x)−97
将项转换为分式: sin4(x)=9sin4(x)9,cos4(x)=9cos4(x)9=9sin4(x)⋅9+9cos4(x)⋅9−97
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=9sin4(x)⋅9+cos4(x)⋅9−7
99sin4(x)+9cos4(x)−7=0
g(x)f(x)=0⇒f(x)=09sin4(x)+9cos4(x)−7=0
使用指数法则: ab=a2ab−2−7+9cos4(x)+9sin2(x)sin2(x)=0
使用三角恒等式改写
−7+9cos4(x)+9sin2(x)sin2(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=−7+9cos4(x)+9(1−cos2(x))(1−cos2(x))
化简 −7+9cos4(x)+9(1−cos2(x))(1−cos2(x)):18cos4(x)−18cos2(x)+2
−7+9cos4(x)+9(1−cos2(x))(1−cos2(x))
9(1−cos2(x))(1−cos2(x))=9(1−cos2(x))2
9(1−cos2(x))(1−cos2(x))
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c(1−cos2(x))(1−cos2(x))=(1−cos2(x))1+1=9(1−cos2(x))1+1
数字相加:1+1=2=9(1−cos2(x))2
=−7+9cos4(x)+9(−cos2(x)+1)2
(1−cos2(x))2:1−2cos2(x)+cos4(x)
使用完全平方公式: (a−b)2=a2−2ab+b2a=1,b=cos2(x)
=12−2⋅1⋅cos2(x)+(cos2(x))2
化简 12−2⋅1⋅cos2(x)+(cos2(x))2:1−2cos2(x)+cos4(x)
12−2⋅1⋅cos2(x)+(cos2(x))2
使用法则 1a=112=1=1−2⋅1⋅cos2(x)+(cos2(x))2
2⋅1⋅cos2(x)=2cos2(x)
2⋅1⋅cos2(x)
数字相乘:2⋅1=2=2cos2(x)
(cos2(x))2=cos4(x)
(cos2(x))2
使用指数法则: (ab)c=abc=cos2⋅2(x)
数字相乘:2⋅2=4=cos4(x)
=1−2cos2(x)+cos4(x)
=1−2cos2(x)+cos4(x)
=−7+9cos4(x)+9(1−2cos2(x)+cos4(x))
乘开 9(1−2cos2(x)+cos4(x)):9−18cos2(x)+9cos4(x)
9(1−2cos2(x)+cos4(x))
打开括号=9⋅1+9(−2cos2(x))+9cos4(x)
使用加减运算法则+(−a)=−a=9⋅1−9⋅2cos2(x)+9cos4(x)
化简 9⋅1−9⋅2cos2(x)+9cos4(x):9−18cos2(x)+9cos4(x)
9⋅1−9⋅2cos2(x)+9cos4(x)
数字相乘:9⋅1=9=9−9⋅2cos2(x)+9cos4(x)
数字相乘:9⋅2=18=9−18cos2(x)+9cos4(x)
=9−18cos2(x)+9cos4(x)
=−7+9cos4(x)+9−18cos2(x)+9cos4(x)
化简 −7+9cos4(x)+9−18cos2(x)+9cos4(x):18cos4(x)−18cos2(x)+2
−7+9cos4(x)+9−18cos2(x)+9cos4(x)
对同类项分组=9cos4(x)−18cos2(x)+9cos4(x)−7+9
同类项相加:9cos4(x)+9cos4(x)=18cos4(x)=18cos4(x)−18cos2(x)−7+9
数字相加/相减:−7+9=2=18cos4(x)−18cos2(x)+2
=18cos4(x)−18cos2(x)+2
=18cos4(x)−18cos2(x)+2
2−18cos2(x)+18cos4(x)=0
用替代法求解
2−18cos2(x)+18cos4(x)=0
令:cos(x)=u2−18u2+18u4=0
2−18u2+18u4=0:u=63+5,u=−63+5,u=63−5,u=−63−5
2−18u2+18u4=0
改写成标准形式 anxn+…+a1x+a0=018u4−18u2+2=0
用v=u2 和 v2=u4改写方程式18v2−18v+2=0
解 18v2−18v+2=0:v=63+5,v=63−5
18v2−18v+2=0
使用求根公式求解
18v2−18v+2=0
二次方程求根公式:
若 a=18,b=−18,c=2v1,2=2⋅18−(−18)±(−18)2−4⋅18⋅2
v1,2=2⋅18−(−18)±(−18)2−4⋅18⋅2
(−18)2−4⋅18⋅2=65
(−18)2−4⋅18⋅2
使用指数法则: (−a)n=an,若 n 是偶数(−18)2=182=182−4⋅18⋅2
数字相乘:4⋅18⋅2=144=182−144
182=324=324−144
数字相减:324−144=180=180
180质因数分解:22⋅32⋅5
180
180除以 2180=90⋅2=2⋅90
90除以 290=45⋅2=2⋅2⋅45
45除以 345=15⋅3=2⋅2⋅3⋅15
15除以 315=5⋅3=2⋅2⋅3⋅3⋅5
2,3,5 都是质数，因此无法进一步因数分解=2⋅2⋅3⋅3⋅5
=22⋅32⋅5
=22⋅32⋅5
使用根式运算法则: nab=nanb=52232
使用根式运算法则: nan=a22=2=2532
使用根式运算法则: nan=a32=3=2⋅35
整理后得=65
v1,2=2⋅18−(−18)±65
将解分隔开v1=2⋅18−(−18)+65,v2=2⋅18−(−18)−65
v=2⋅18−(−18)+65:63+5
2⋅18−(−18)+65
使用法则 −(−a)=a=2⋅1818+65
数字相乘:2⋅18=36=3618+65
分解 18+65:6(3+5)
18+65
改写为=6⋅3+65
因式分解出通项 6=6(3+5)
=366(3+5)
约分:6=63+5
v=2⋅18−(−18)−65:63−5
2⋅18−(−18)−65
使用法则 −(−a)=a=2⋅1818−65
数字相乘:2⋅18=36=3618−65
分解 18−65:6(3−5)
18−65
改写为=6⋅3−65
因式分解出通项 6=6(3−5)
=366(3−5)
约分:6=63−5
二次方程组的解是:v=63+5,v=63−5
v=63+5,v=63−5
代回 v=u2，求解 u
解 u2=63+5:u=63+5,u=−63+5
u2=63+5
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=63+5,u=−63+5
解 u2=63−5:u=63−5,u=−63−5
u2=63−5
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=63−5,u=−63−5
解为
u=63+5,u=−63+5,u=63−5,u=−63−5
u=cos(x)代回cos(x)=63+5,cos(x)=−63+5,cos(x)=63−5,cos(x)=−63−5
cos(x)=63+5,cos(x)=−63+5,cos(x)=63−5,cos(x)=−63−5
cos(x)=63+5:x=arccos63+5+2πn,x=2π−arccos63+5+2πn
cos(x)=63+5
使用反三角函数性质
cos(x)=63+5
cos(x)=63+5的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos63+5+2πn,x=2π−arccos63+5+2πn
x=arccos63+5+2πn,x=2π−arccos63+5+2πn
cos(x)=−63+5:x=arccos−63+5+2πn,x=−arccos−63+5+2πn
cos(x)=−63+5
使用反三角函数性质
cos(x)=−63+5
cos(x)=−63+5的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos−63+5+2πn,x=−arccos−63+5+2πn
x=arccos−63+5+2πn,x=−arccos−63+5+2πn
cos(x)=63−5:x=arccos63−5+2πn,x=2π−arccos63−5+2πn
cos(x)=63−5
使用反三角函数性质
cos(x)=63−5
cos(x)=63−5的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos63−5+2πn,x=2π−arccos63−5+2πn
x=arccos63−5+2πn,x=2π−arccos63−5+2πn
cos(x)=−63−5:x=arccos−63−5+2πn,x=−arccos−63−5+2πn
cos(x)=−63−5
使用反三角函数性质
cos(x)=−63−5
cos(x)=−63−5的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos−63−5+2πn,x=−arccos−63−5+2πn
x=arccos−63−5+2πn,x=−arccos−63−5+2πn
合并所有解x=arccos63+5+2πn,x=2π−arccos63+5+2πn,x=arccos−63+5+2πn,x=−arccos−63+5+2πn,x=arccos63−5+2πn,x=2π−arccos63−5+2πn,x=arccos−63−5+2πn,x=−arccos−63−5+2πn
以小数形式表示解x=0.36486…+2πn,x=2π−0.36486…+2πn,x=2.77672…+2πn,x=−2.77672…+2πn,x=1.20593…+2πn,x=2π−1.20593…+2πn,x=1.93566…+2πn,x=−1.93566…+2πn