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Popular Trigonometria >

tan^2(x/2)-tan(x/2)-2=0

Solução

tan^{2} (\frac{x}{2}) - tan (\frac{x}{2}) - 2 = 0

Solução

x = 2 \cdot 1.10714 \dots + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graus

x = 126.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

tan^{2} (\frac{x}{2}) - tan (\frac{x}{2}) - 2 = 0

Usando o método de substituição

tan^{2} (\frac{x}{2}) - tan (\frac{x}{2}) - 2 = 0

Sea:

tan (\frac{x}{2}) = u

u^{2} - u - 2 = 0

u^{2} - u - 2 = 0 : u = 2, u = - 1

u^{2} - u - 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

u^{2} - u - 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = - 1, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Somar:

1 + 8 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 1} : 2

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 + 3}{2 \cdot 1}

Somar:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 1} : - 1

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 - 3}{2 \cdot 1}

Subtrair:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= - 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 2, u = - 1

Substituir na equação

u = tan (\frac{x}{2})

tan (\frac{x}{2}) = 2, tan (\frac{x}{2}) = - 1

tan (\frac{x}{2}) = 2, tan (\frac{x}{2}) = - 1

tan (\frac{x}{2}) = 2 : x = 2 arctan (2) + 2 πn

tan (\frac{x}{2}) = 2

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

tan (\frac{x}{2}) = 2

Soluções gerais para

tan (\frac{x}{2}) = 2

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

\frac{x}{2} = arctan (2) + πn

\frac{x}{2} = arctan (2) + πn

Resolver

\frac{x}{2} = arctan (2) + πn : x = 2 arctan (2) + 2 πn

\frac{x}{2} = arctan (2) + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} = arctan (2) + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 arctan (2) + 2 πn

Simplificar

x = 2 arctan (2) + 2 πn

x = 2 arctan (2) + 2 πn

x = 2 arctan (2) + 2 πn

tan (\frac{x}{2}) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

tan (\frac{x}{2}) = - 1

Soluções gerais para

tan (\frac{x}{2}) = - 1

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} + πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} + πn

Resolver

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} + πn : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{4} + 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{4} + 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{3 π}{4} + 2 πn : \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{4} + 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{4} = \frac{3 π}{2}

2 \cdot \frac{3 π}{4}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{4}

Multiplicar os números:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{6 π}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = 2 arctan (2) + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 2 \cdot 1.10714 \dots + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

tan(x)=(-3)/4

tan (x) = \frac{- 3}{4}

sin(x)=-2sin^2(x)

sin (x) = - 2 sin^{2} (x)

sqrt(3)cos(θ)=sin(θ)

3 cos (θ) = sin (θ)

csc(θ)= 4/3

csc (θ) = \frac{4}{3}

3+3sin(θ)=9sin(θ)

3 + 3 sin (θ) = 9 sin (θ)