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Populaire Trigonométrie >

(sin(x))^{sin(x)}=2

Solution

(sin (x))^{s i n (x)} = 2

Solution

Aucune solution pour x \in R

étapes des solutions

(sin (x))^{s i n (x)} = 2

Résoudre par substitution

(sin (x))^{s i n (x)} = 2

Soit :

sin (x) = u

u^{u} = 2

u^{u} = 2 : u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

u^{u} = 2

Préparer

u^{u} = 2

à la forme Lambert:

u e^{- \frac{l n ( 2 )}{u}} = 1

u^{u} = 2

x e^{x} = a

est une équation sous la forme Lambert

Mettre les deux côtés de l'équation à la puissance de

\frac{1}{u}

(u^{u})^{\frac{1}{u}} = 2^{\frac{1}{u}}

Simplifier

(u^{u})^{\frac{1}{u}} : u

(u^{u})^{\frac{1}{u}}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c},

en supposant

a \geq 0

= u^{u \frac{1}{u}}

u \frac{1}{u} = 1

u \frac{1}{u}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= 1

= u

u = 2^{\frac{1}{u}}

Multiplier les deux côtés par

2^{- \frac{1}{u}}

u \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}}

Simplifier

2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}} : 1

2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 2^{\frac{1}{u} - \frac{1}{u}}

= 2^{\frac{1}{u} - \frac{1}{u}}

Additionner les éléments similaires :

1 \cdot \frac{1}{u} - 1 \cdot \frac{1}{u} = 0

= 2^{0}

Appliquer la règle

a^{0} = 1, a \neq = 0

= 1

u \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 1

Appliquer les règles des exposants

u \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 1

Convertir en base

e : u e^{l n (2) (- \frac{1}{u})} = 1

Appliquer la règle de l'exposant:

a = b^{l o g_{b} (a)}

2^{- \frac{1}{u}} = (e^{l n (2)})^{- \frac{1}{u}}

u (e^{l n (2)})^{- \frac{1}{u}} = 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(e^{l n (2)})^{- \frac{1}{u}} = e^{l n (2) (- \frac{1}{u})}

u e^{l n (2) (- \frac{1}{u})} = 1

u e^{l n (2) (- \frac{1}{u})} = 1

Simplifier

u e^{- \frac{l n ( 2 )}{u}} = 1

u e^{- \frac{l n ( 2 )}{u}} = 1

Récrire l'équation avec

\frac{ln ( 2 )}{u} = v

u = \frac{ln ( 2 )}{v}

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

Récrire

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

sous la forme Lambert:

v e^{v} = ln (2)

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

x e^{x} = a

est une équation sous la forme Lambert

Multiplier les deux côtés par

v

\frac{ln ( 2 )}{v} e^{- v} v = 1 \cdot v

Simplifier

ln (2) e^{- v} = v

Multiplier les deux côtés par

e^{v}

ln (2) e^{- v} e^{v} = v e^{v}

Simplifier

ln (2) e^{- v} e^{v} : ln (2)

ln (2) e^{- v} e^{v}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{- v} e^{v} = e^{- v + v}

= ln (2) e^{- v + v}

Additionner les éléments similaires :

- v + v = 0

= ln (2) e^{0}

Appliquer la règle

a^{0} = 1, a \neq = 0

= 1 \cdot ln (2)

Multiplier:

ln (2) \cdot 1 = ln (2)

= ln (2)

ln (2) = v e^{v}

Transposer les termes des côtés

v e^{v} = ln (2)

Résoudre

v e^{v} = ln (2) : v = W_{0} (ln (2))

v e^{v} = ln (2)

Solution pour

x e^{x} = a

où

a \geq 0

est une branche principale de Lambert

W ::

fonction :

x = W_{0} (a)

v = W_{0} (ln (2))

Vérifier les solutions:

v = W_{0} (ln (2))

vrai

Vérifier des solutions en les intégrant dans

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Insérer

v = W_{0} (ln (2)) :

vrai

(\frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}) e^{- W_{0} (l n (2))} = 1

(\frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}) e^{- W_{0} (l n (2))} = \frac{e ^{- W_{0} (l n (2))} ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

(\frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}) e^{- W_{0} (l n (2))}

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} e^{- W_{0} (l n (2))}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{ln ( 2 ) e ^{- W_{0} (l n (2))}}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

\frac{e ^{- W_{0} (l n (2))} ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} = 1

vrai

La solution est

v = W_{0} (ln (2))

Resubstituer

v = \frac{ln ( 2 )}{u},

résoudre pour

u

Résoudre

\frac{ln ( 2 )}{u} = W_{0} (ln (2)) : u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

\frac{ln ( 2 )}{u} = W_{0} (ln (2))

Multiplier les deux côtés par

u

\frac{ln ( 2 )}{u} = W_{0} (ln (2))

Multiplier les deux côtés par

u

\frac{ln ( 2 )}{u} u = W_{0} (ln (2)) u

Simplifier

ln (2) = W_{0} (ln (2)) u

ln (2) = W_{0} (ln (2)) u

Transposer les termes des côtés

W_{0} (ln (2)) u = ln (2)

Diviser les deux côtés par

W_{0} (ln (2))

W_{0} (ln (2)) u = ln (2)

Diviser les deux côtés par

W_{0} (ln (2))

\frac{W _{0} ( ln ( 2 ) ) u}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

Simplifier

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

\frac{ln ( 2 )}{u}

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} :

Aucune solution

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

Aucune solution pour x \in R

Graphe

Exemples populaires

sqrt(cos^2(x)+1/2)+sqrt(sin^2(x)+1/2)=2

cos^{2} (x) + \frac{1}{2} + sin^{2} (x) + \frac{1}{2} = 2

sin^2(x)-2cos(x)-2=0

sin^{2} (x) - 2 cos (x) - 2 = 0

1/2 tan^2(x)=1-sec(x)

\frac{1}{2} tan^{2} (x) = 1 - sec (x)

sin(2x)=sin^2(x)

sin (2 x) = sin^{2} (x)

2sec^2(x)+3(1/(cos(x)))=2

2 sec^{2} (x) + 3 (\frac{1}{cos ( x )}) = 2