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Populaire Trigonométrie >

6cos(x)-6sin(x)=3sqrt(6)

Solution

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

Solution

x = - 1.30899 \dots + 2 πn, x = - 0.26179 \dots + 2 πn

Degrés

x = - 7 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 1 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

Ajouter

6 sin (x)

aux deux côtés

6 cos (x) = 36 + 6 sin (x)

Mettre les deux côtés au carré

(6 cos (x))^{2} = (36 + 6 sin (x))^{2}

Soustraire

(36 + 6 sin (x))^{2}

des deux côtés

36 cos^{2} (x) - 54 - 366 sin (x) - 36 sin^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 54 + 36 cos^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 54 + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6

Simplifier

- 54 + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6 : - 72 sin^{2} (x) - 366 sin (x) - 18

- 54 + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6

= - 54 + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 36 sin^{2} (x) - 366 sin (x)

Développer

36 (1 - sin^{2} (x)) : 36 - 36 sin^{2} (x)

36 (1 - sin^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 36, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 36 \cdot 1 - 36 sin^{2} (x)

Multiplier les nombres :

36 \cdot 1 = 36

= 36 - 36 sin^{2} (x)

= - 54 + 36 - 36 sin^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6

Simplifier

- 54 + 36 - 36 sin^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6 : - 72 sin^{2} (x) - 366 sin (x) - 18

- 54 + 36 - 36 sin^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6

Additionner les éléments similaires :

- 36 sin^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) = - 72 sin^{2} (x)

= - 54 + 36 - 72 sin^{2} (x) - 366 sin (x)

Additionner/Soustraire les nombres :

- 54 + 36 = - 18

= - 72 sin^{2} (x) - 366 sin (x) - 18

= - 72 sin^{2} (x) - 366 sin (x) - 18

= - 72 sin^{2} (x) - 366 sin (x) - 18

- 18 - 72 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6 = 0

Résoudre par substitution

- 18 - 72 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6 = 0

Soit :

sin (x) = u

- 18 - 72 u^{2} - 36 u 6 = 0

- 18 - 72 u^{2} - 36 u 6 = 0 : u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

- 18 - 72 u^{2} - 36 u 6 = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 72 u^{2} - 366 u - 18 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 72 u^{2} - 366 u - 18 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 72, b = - 366, c = - 18

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 6 ) \pm ( - 36 6 ) ^{2} - 4 ( - 72 ) ( - 18 )}{2 ( - 72 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 6 ) \pm ( - 36 6 ) ^{2} - 4 ( - 72 ) ( - 18 )}{2 ( - 72 )}

(- 366)^{2} - 4 (- 72) (- 18) = 362

(- 366)^{2} - 4 (- 72) (- 18)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 366)^{2} - 4 \cdot 72 \cdot 18

(- 366)^{2} = 3 6^{2} \cdot 6

(- 366)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 366)^{2} = (366)^{2}

= (366)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3 6^{2} (6)^{2}

(6)^{2} : 6

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 6

= 3 6^{2} \cdot 6

4 \cdot 72 \cdot 18 = 5184

4 \cdot 72 \cdot 18

Multiplier les nombres :

4 \cdot 72 \cdot 18 = 5184

= 5184

= 3 6^{2} \cdot 6 - 5184

3 6^{2} \cdot 6 = 7776

3 6^{2} \cdot 6

3 6^{2} = 1296

= 1296 \cdot 6

Multiplier les nombres :

1296 \cdot 6 = 7776

= 7776

= 7776 - 5184

Soustraire les nombres :

7776 - 5184 = 2592

= 2592

Factorisation première de

2592 : 2^{5} \cdot 3^{4}

2592

2592

divisée par

22592 = 1296 \cdot 2

= 2 \cdot 1296

1296

divisée par

21296 = 648 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 648

648

divisée par

2648 = 324 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 324

324

divisée par

2324 = 162 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 162

162

divisée par

2162 = 81 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 81

81

divisée par

381 = 27 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 27

27

divisée par

327 = 9 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9

9

divisée par

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{5} \cdot 3^{4}

= 2^{5} \cdot 3^{4}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 2 2^{4} 3^{4}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2 3^{4}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 2^{2} \cdot 3^{2} 2

Redéfinir

= 362

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 6 ) \pm 36 2}{2 ( - 72 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 36 6 ) + 36 2}{2 ( - 72 )}, u_{2} = \frac{- ( - 36 6 ) - 36 2}{2 ( - 72 )}

u = \frac{- ( - 36 6 ) + 36 2}{2 ( - 72 )} : - \frac{6 + 2}{4}

\frac{- ( - 36 6 ) + 36 2}{2 ( - 72 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 6 + 36 2}{- 2 \cdot 72}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 72 = 144

= \frac{36 6 + 36 2}{- 144}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{36 6 + 36 2}{144}

Annuler

\frac{36 6 + 36 2}{144} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{36 6 + 36 2}{144}

Factoriser le terme commun

36

= \frac{36 ( 6 + 2 )}{144}

Annuler le facteur commun :

36

= \frac{6 + 2}{4}

= - \frac{6 + 2}{4}

u = \frac{- ( - 36 6 ) - 36 2}{2 ( - 72 )} : - \frac{6 - 2}{4}

\frac{- ( - 36 6 ) - 36 2}{2 ( - 72 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 6 - 36 2}{- 2 \cdot 72}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 72 = 144

= \frac{36 6 - 36 2}{- 144}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{36 6 - 36 2}{144}

Annuler

\frac{36 6 - 36 2}{144} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{36 6 - 36 2}{144}

Factoriser le terme commun

36

= \frac{36 ( 6 - 2 )}{144}

Annuler le facteur commun :

36

= \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}, sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}, sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4} : x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Solutions générales pour

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4} : x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Solutions générales pour

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

vrai

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Pour

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

insérer

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

6 cos (arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 6 sin (arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 36

Redéfinir

7.34846 \dots = 7.34846 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Faux

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Pour

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

insérer

x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

6 cos (π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 6 sin (π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 36

Redéfinir

4.24264 \dots = 7.34846 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

vrai

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Pour

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

insérer

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

6 cos (arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 6 sin (arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 36

Redéfinir

7.34846 \dots = 7.34846 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Faux

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Pour

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

insérer

x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

6 cos (π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 6 sin (π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 36

Redéfinir

- 4.24264 \dots = 7.34846 \dots

\Rightarrow Faux

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = - 1.30899 \dots + 2 πn, x = - 0.26179 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

cos^2(θ)+cos^4(θ)=1

cos^{2} (θ) + cos^{4} (θ) = 1

cot(a)=-1/(sqrt(3))

cot (a) = - \frac{1}{3}

2cos(θ)-2sec(θ)-3=0

2 cos (θ) - 2 sec (θ) - 3 = 0

2sin^2(x)-3cos(x)=0

2 sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

sin(θ)= 2/9

sin (θ) = \frac{2}{9}