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Beliebt Trigonometrie >

-3cos(2θ)-sin(θ)-6=-8

Lösung

- 3 cos (2 θ) - sin (θ) - 6 = - 8

Lösung

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = - 0.33983 \dots + 2 πn, θ = π + 0.33983 \dots + 2 πn

Grad

θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 19.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 199.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 3 cos (2 θ) - sin (θ) - 6 = - 8

Subtrahiere

- 8

von beiden Seiten

- 3 cos (2 θ) - sin (θ) + 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 - sin (θ) - 3 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 2 - sin (θ) - 3 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Vereinfache

2 - sin (θ) - 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : 6 sin^{2} (θ) - sin (θ) - 1

2 - sin (θ) - 3 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 3 + 6 sin^{2} (θ)

- 3 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = 2 sin^{2} (θ)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) \cdot 2 sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 sin^{2} (θ) : - 3 + 6 sin^{2} (θ)

- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= - 3 + 6 sin^{2} (θ)

= - 3 + 6 sin^{2} (θ)

= 2 - sin (θ) - 3 + 6 sin^{2} (θ)

Vereinfache

2 - sin (θ) - 3 + 6 sin^{2} (θ) : 6 sin^{2} (θ) - sin (θ) - 1

2 - sin (θ) - 3 + 6 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin (θ) + 6 sin^{2} (θ) + 2 - 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

2 - 3 = - 1

= 6 sin^{2} (θ) - sin (θ) - 1

= 6 sin^{2} (θ) - sin (θ) - 1

= 6 sin^{2} (θ) - sin (θ) - 1

- 1 - sin (θ) + 6 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 1 - sin (θ) + 6 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 1 - u + 6 u^{2} = 0

- 1 - u + 6 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3}

- 1 - u + 6 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

6 u^{2} - u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 6, b = - 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 1 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 1 )}{2 \cdot 6}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 6 (- 1) = 5

(- 1)^{2} - 4 \cdot 6 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

4 \cdot 6 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

= 24

= 1 + 24

Addiere die Zahlen:

1 + 24 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 \cdot 6}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 6} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 5}{2 \cdot 6}

Addiere die Zahlen:

1 + 5 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{1}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 6} : - \frac{1}{3}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 5}{2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 5 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 4}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{3}

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{3}

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{3} : θ = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = - \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{1}{3}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = - 0.33983 \dots + 2 πn, θ = π + 0.33983 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin^2(x)+1= 7/2 cos^2(x)

sin^{2} (x) + 1 = \frac{7}{2} cos^{2} (x)

cos(θ)sin(θ)-2cos(θ)=0

cos (θ) sin (θ) - 2 cos (θ) = 0

solvefor y,x=tan^2(y)

so l v e f or y, x = tan^{2} (y)

tan(θ)=(sqrt(7))/3

tan (θ) = \frac{7}{3}

sin(4θ)-sin(2θ)=0

sin (4 θ) - sin (2 θ) = 0