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kgv 3z^3-6z^2-9z,7z^4+21z^3+14z^2

Lösung

kgv

3 z^{3} - 6 z^{2} - 9 z, 7 z^{4} + 21 z^{3} + 14 z^{2}

Lösung

21 z^{2} (z + 1) (z + 2) (z - 3)

Schritte zur Lösung

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

3 z^{3} - 6 z^{2} - 9 z, 7 z^{4} + 21 z^{3} + 14 z^{2}

Faktorisiere

3 z^{3} - 6 z^{2} - 9 z : 3 z (z + 1) (z - 3)

3 z^{3} - 6 z^{2} - 9 z

Klammere gleiche Terme aus

3 z : 3 z (z^{2} - 2 z - 3)

3 z^{3} - 6 z^{2} - 9 z

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

z^{2} = zz

= 3 z^{2} z - 6 zz - 9 z

Schreibe

9

um:

3 \cdot 3

Schreibe

6

um:

3 \cdot 2

= 3 z^{2} z - 3 \cdot 2 zz - 3 \cdot 3 z

Klammere gleiche Terme aus

3 z

= 3 z (z^{2} - 2 z - 3)

= 3 z (z^{2} - 2 z - 3)

Faktorisiere

z^{2} - 2 z - 3 : (z + 1) (z - 3)

z^{2} - 2 z - 3

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

z^{2} - 2 z - 3

Definition

Faktoren von

3 : 1, 3

3

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Addiere 1

1

Die Faktoren von

3

1, 3

Negative Faktoren von

3 : - 1, - 3

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 3

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 3,

prüfe, ob

u + v = - 2

Prüfe

u = 1, v = - 3 : u * v = - 3, u + v = - 2 \Rightarrow

WahrPrüfe

u = 3, v = - 1 : u * v = - 3, u + v = 2 \Rightarrow

Falsch

u = 1, v = - 3

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(z^{2} + z) + (- 3 z - 3)

= (z^{2} + z) + (- 3 z - 3)

Klammere

z

aus

z^{2} + z

aus

: z (z + 1)

z^{2} + z

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

z^{2} = zz

= zz + z

Klammere gleiche Terme aus

z

= z (z + 1)

Klammere

- 3

aus

- 3 z - 3

aus

: - 3 (z + 1)

- 3 z - 3

Klammere gleiche Terme aus

- 3

= - 3 (z + 1)

= z (z + 1) - 3 (z + 1)

Klammere gleiche Terme aus

z + 1

= (z + 1) (z - 3)

= 3 z (z + 1) (z - 3)

Faktorisiere

7 z^{4} + 21 z^{3} + 14 z^{2} : 7 z^{2} (z + 1) (z + 2)

7 z^{4} + 21 z^{3} + 14 z^{2}

Klammere gleiche Terme aus

7 z^{2} : 7 z^{2} (z^{2} + 3 z + 2)

7 z^{4} + 21 z^{3} + 14 z^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

z^{3} = z z^{2}

= 7 z^{2} z^{2} + 21 z z^{2} + 14 z^{2}

Schreibe

14

um:

7 \cdot 2

Schreibe

21

um:

7 \cdot 3

= 7 z^{2} z^{2} + 7 \cdot 3 z z^{2} + 7 \cdot 2 z^{2}

Klammere gleiche Terme aus

7 z^{2}

= 7 z^{2} (z^{2} + 3 z + 2)

= 7 z^{2} (z^{2} + 3 z + 2)

Faktorisiere

z^{2} + 3 z + 2 : (z + 1) (z + 2)

z^{2} + 3 z + 2

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

z^{2} + 3 z + 2

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = 2,

prüfe, ob

u + v = 3

Prüfe

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

Wahr

u = 1, v = 2

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(z^{2} + z) + (2 z + 2)

= (z^{2} + z) + (2 z + 2)

Klammere

z

aus

z^{2} + z

aus

: z (z + 1)

z^{2} + z

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

z^{2} = zz

= zz + z

Klammere gleiche Terme aus

z

= z (z + 1)

Klammere

2

aus

2 z + 2

aus

: 2 (z + 1)

2 z + 2

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (z + 1)

= z (z + 1) + 2 (z + 1)

Klammere gleiche Terme aus

z + 1

= (z + 1) (z + 2)

= 7 z^{2} (z + 1) (z + 2)

Multiply each factor with the highest power:

3 \cdot 7 \cdot z^{2} \cdot (z + 1) \cdot (z + 2) \cdot (z - 3)

Vereinfache

21 z^{2} (z + 1) (z + 2) (z - 3)

Beliebte Beispiele

vereinfachen ((30-3))/3