integral of e^{-t}*(-t^2+t-1)

解

\int e^{- t} \cdot (- t^{2} + t - 1) d t

e^{- t} t^{2} + e^{- t} t + 2 e^{- t} + C

解答ステップ

\int e^{- t} (- t^{2} + t - 1) d t

拡張

e^{- t} (- t^{2} + t - 1) : - e^{- t} t^{2} + e^{- t} t - e^{- t}

= \int - e^{- t} t^{2} + e^{- t} t - e^{- t} d t

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int e^{- t} t^{2} d t + \int e^{- t} t d t - \int e^{- t} d t

\int e^{- t} t^{2} d t = - e^{- t} t^{2} + 2 (- e^{- t} t - e^{- t})

\int e^{- t} t d t = - e^{- t} t - e^{- t}

\int e^{- t} d t = - e^{- t}

= - (- e^{- t} t^{2} + 2 (- e^{- t} t - e^{- t})) - e^{- t} t - e^{- t} - (- e^{- t})

簡素化

- (- e^{- t} t^{2} + 2 (- e^{- t} t - e^{- t})) - e^{- t} t - e^{- t} - (- e^{- t}) : e^{- t} t^{2} + e^{- t} t + 2 e^{- t}

= e^{- t} t^{2} + e^{- t} t + 2 e^{- t}

定数を解答に追加する

= e^{- t} t^{2} + e^{- t} t + 2 e^{- t} + C