integral of cos(x)sqrt(1+cos^2(x))

Lösung

\int cos (x) 1 + cos^{2} (x) d x

arcsin (\frac{1}{2} sin (x)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} sin (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int cos (x) 1 + cos^{2} (x) d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int - u^{2} + 2 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 2 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 2 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} sin (x)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} sin (x))))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} sin (x)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} sin (x)))) : arcsin (\frac{1}{2} sin (x)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} sin (x)))

= arcsin (\frac{1}{2} sin (x)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} sin (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arcsin (\frac{1}{2} sin (x)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} sin (x))) + C

n = 2 \sum \infty \frac{2}{n ( n - 1 )}

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{3} + 14 x - 7}{7})

\int \frac{ln ( x ^{21} )}{x} d x

\int_{- 2}^{1} (2 x + π) d x

\int \frac{2 + x}{x ^{3}} d x