integral of x^2sqrt(8-x^2)

Lösung

\int x^{2} 8 - x^{2} d x

8 (arcsin (\frac{1}{2 2} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2 2} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} 8 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 64 sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 64 \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 64 \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 64 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 64 \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= 64 \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{2 2} x)

ein

= 64 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{2 2} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2 2} x)))

Vereinfache

64 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{2 2} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2 2} x))) : 8 (arcsin (\frac{1}{2 2} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2 2} x)))

= 8 (arcsin (\frac{1}{2 2} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2 2} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 8 (arcsin (\frac{1}{2 2} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2 2} x))) + C

\int cot^{2} (x) (1 + tan^{2} (x)) d x

l a pl a ce t r an s f or m 6 t^{4}

t an g e n t f (x) = 4 - x^{2}, at x = - 1

\int \frac{1}{10 x ^{7}} d x

y^{'} = y (3 - y)