integral of x(b-x)^2

解

\int x (b - x)^{2} d x

\frac{1}{2} b^{2} x^{2} - b x^{3} + \frac{1}{2} x^{4} + \frac{b x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4} + C

解答ステップ

\int x (b - x)^{2} d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} x^{2} (b - x)^{2} - \int - x^{2} (b - x) d x

\int - x^{2} (b - x) d x = - \frac{b x ^{3}}{3} + \frac{x ^{4}}{4}

= \frac{1}{2} x^{2} (b - x)^{2} - (- \frac{b x ^{3}}{3} + \frac{x ^{4}}{4})

簡素化

\frac{1}{2} x^{2} (b - x)^{2} - (- \frac{b x ^{3}}{3} + \frac{x ^{4}}{4}) : \frac{1}{2} b^{2} x^{2} - b x^{3} + \frac{1}{2} x^{4} + \frac{b x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4}

= \frac{1}{2} b^{2} x^{2} - b x^{3} + \frac{1}{2} x^{4} + \frac{b x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} b^{2} x^{2} - b x^{3} + \frac{1}{2} x^{4} + \frac{b x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4} + C