integral of x(1/4 e^{-x/4})

解

\int x (\frac{1}{4} e^{- \frac{x}{4}}) d x

- e^{- \frac{x}{4}} (x + 4) + C

解答ステップ

\int x \frac{1}{4} e^{- \frac{x}{4}} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int x e^{- \frac{x}{4}} d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}} x - \int - 4 e^{- \frac{x}{4}} d x)

\int - 4 e^{- \frac{x}{4}} d x = 16 e^{- \frac{x}{4}}

= \frac{1}{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}} x - 16 e^{- \frac{x}{4}})

簡素化

\frac{1}{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}} x - 16 e^{- \frac{x}{4}}) : - e^{- \frac{x}{4}} (x + 4)

= - e^{- \frac{x}{4}} (x + 4)

定数を解答に追加する

= - e^{- \frac{x}{4}} (x + 4) + C