integral of x/(sqrt(5+4x-x^2))

Lösung

\int \frac{x}{5 + 4 x - x ^{2}} d x

- - x^{2} + 4 x + 5 + 2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x}{5 + 4 x - x ^{2}} d x

Vervollständige das Quadrat

5 + 4 x - x^{2} : - (x - 2)^{2} + 9

= \int \frac{x}{- ( x - 2 ) ^{2} + 9} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u + 2}{- u ^{2} + 9} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 3 sin (v) + 2 d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 3 sin (v) d v + \int 2 d v

\int 3 sin (v) d v = - 3 cos (v)

\int 2 d v = 2 v

= - 3 cos (v) + 2 v

Ersetze zurück

= - 3 cos (arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + 2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))

Vereinfache

- 3 cos (arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + 2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) : - - x^{2} + 4 x + 5 + 2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))

= - - x^{2} + 4 x + 5 + 2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - - x^{2} + 4 x + 5 + 2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + C