integral of (e^{4x}-e^{2x}+1)/(e^x)

Lösung

\int \frac{e ^{4 x} - e ^{2 x} + 1}{e ^{x}} d x

\frac{1}{3} e^{3 x} - e^{x} - \frac{1}{e ^{x}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{4 x} - e ^{2 x} + 1}{e ^{x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u ^{4} - u ^{2} + 1}{u ^{2}} d u

Multipliziere aus

\frac{u ^{4} - u ^{2} + 1}{u ^{2}} : u^{2} - 1 + \frac{1}{u ^{2}}

= \int u^{2} - 1 + \frac{1}{u ^{2}} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int u^{2} d u - \int 1 d u + \int \frac{1}{u ^{2}} d u

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

\int 1 d u = u

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

= \frac{u ^{3}}{3} - u - \frac{1}{u}

Setze in

u = e^{x}

ein

= \frac{( e ^{x} ) ^{3}}{3} - e^{x} - \frac{1}{e ^{x}}

Vereinfache

\frac{( e ^{x} ) ^{3}}{3} - e^{x} - \frac{1}{e ^{x}} : \frac{1}{3} e^{3 x} - e^{x} - \frac{1}{e ^{x}}

= \frac{1}{3} e^{3 x} - e^{x} - \frac{1}{e ^{x}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} e^{3 x} - e^{x} - \frac{1}{e ^{x}} + C

y^{^{'}} = y

d er i v a t i v e f (x) = 4 x - 6

p a r i t y tan (sec (cos (t)))

\frac{d}{d x} (x^{0})

x \to 5 lim (4 x^{3} - 6 x^{2})