integral of e^{-x}(1+e^{-x})^3

解答

\int e^{- x} (1 + e^{- x})^{3} d x

- e^{- x} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - e^{- 3 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C

求解步骤

\int e^{- x} (1 + e^{- x})^{3} d x

乘开

e^{- x} (1 + e^{- x})^{3} : e^{- x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- 3 x} + e^{- 4 x}

= \int e^{- x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- 3 x} + e^{- 4 x} d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int 3 e^{- 3 x} d x + \int e^{- 4 x} d x

\int e^{- x} d x = - e^{- x}

\int 3 e^{- 2 x} d x = - \frac{3}{2} e^{- 2 x}

\int 3 e^{- 3 x} d x = - e^{- 3 x}

\int e^{- 4 x} d x = - \frac{1}{4} e^{- 4 x}

= - e^{- x} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - e^{- 3 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x}

解答补常数

= - e^{- x} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - e^{- 3 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C

d er i v a t i v e f (x) = 2 - x^{2}

t an g e n t f (x) = 5 + 5 x^{2} - 2 x^{3}, at x = a

x \to 0 lim (\frac{3}{1 + x})

\frac{d}{d x} (x + sin^{2} (x))

(2 x y + x^{2} + x^{4}) d x - (1 + x^{2}) d y = 0