integral of (2x^3+x^2+4)/((x^2+4)^2)

解

\int \frac{2 x ^{3} + x ^{2} + 4}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} d x

ln x^{2} + 4 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2}) + \frac{4}{x ^{2} + 4} + C

解答ステップ

\int \frac{2 x ^{3} + x ^{2} + 4}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{2 x ^{3} + x ^{2} + 4}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} : \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 4} - \frac{8 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}

= \int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 4} - \frac{8 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 4} d x - \int \frac{8 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} d x

\int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 4} d x = ln x^{2} + 4 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2})

\int \frac{8 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} d x = - \frac{4}{x ^{2} + 4}

= ln x^{2} + 4 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2}) - (- \frac{4}{x ^{2} + 4})

簡素化

= ln x^{2} + 4 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2}) + \frac{4}{x ^{2} + 4}

定数を解答に追加する

= ln x^{2} + 4 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2}) + \frac{4}{x ^{2} + 4} + C