интеграл от 1/(2sqrt(3-x)\sqrt{x+1)}

Решение

\int \frac{1}{2 3 - x x + 1} d x

arcsin (\frac{1}{2} x + 1) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{2 3 - x x + 1} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{3 - x x + 1} d x

Примените правило возведения в степень:

a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}

3 - x x + 1 = (3 - x) (x + 1)

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{( 3 - x ) ( x + 1 )} d x

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ( - u + 4 )} d u

Примените правило возведения в степень:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

u (- u + 4) = u (- u + 4)

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u - u + 4} d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2}{- v ^{2} + 4} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 4} d v

Примените тригонометрическую подстановку

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int 1 d w

Интеграл константы:

\int a d x = a x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot w

Делаем обратную замену

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot arcsin (\frac{1}{2} x + 1)

Упростите

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot arcsin (\frac{1}{2} x + 1) : arcsin (\frac{1}{2} x + 1)

= arcsin (\frac{1}{2} x + 1)

Добавить константу к решению

= arcsin (\frac{1}{2} x + 1) + C