интеграл от sqrt((6+x)/(6-x))

Решение

\int \frac{6 + x}{6 - x} d x

- x + 6 6 - x + 12 arctan (\frac{x + 6}{6 - x}) + C

Шаги решения

\int \frac{6 + x}{6 - x} d x

Применить подстановку интеграла

= \int - \frac{- u + 12}{u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{- u + 12}{u} d u

Расширить

\frac{- u + 12}{u} : - 1 + \frac{12}{u}

= - \int - 1 + \frac{12}{u} d u

Применить подстановку интеграла

= - \int - \frac{12 v - 1}{v ^{2}} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- 12 \cdot \int \frac{v - 1}{v ^{2}} d v)

Применить интегрирование по частям

= - (- 12 (- \frac{v - 1}{v} - \int - \frac{1}{2 v v - 1} d v))

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- 12 (- \frac{v - 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v v - 1} d v)))

Применить подстановку интеграла

= - (- 12 (- \frac{v - 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2}{w ^{2} + 1} d w)))

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- 12 (- \frac{v - 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w)))

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= - (- 12 (- \frac{v - 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 arctan (w))))

Делаем обратную замену

= - - 12 - \frac{\frac{12}{6 - x} - 1}{\frac{12}{6 - x}} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 arctan (\frac{12}{6 - x} - 1))

Упростите

- - 12 - \frac{\frac{12}{6 - x} - 1}{\frac{12}{6 - x}} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 arctan (\frac{12}{6 - x} - 1)) : - x + 6 6 - x + 12 arctan (\frac{x + 6}{6 - x})

= - x + 6 6 - x + 12 arctan (\frac{x + 6}{6 - x})

Добавить константу к решению

= - x + 6 6 - x + 12 arctan (\frac{x + 6}{6 - x}) + C