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integral of y/(sqrt(3y+1))

Lösung

\int \frac{y}{3 y + 1} d y

Lösung

\frac{2}{9} (\frac{1}{3} (3 y + 1)^{\frac{3}{2}} - 3 y + 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{y}{3 y + 1} d y

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2 ( u ^{2} - 1 )}{9} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{2}{9} \cdot \int u^{2} - 1 d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{2}{9} (\int u^{2} d u - \int 1 d u)

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

\int 1 d u = u

= \frac{2}{9} (\frac{u ^{3}}{3} - u)

Setze in

u = 3 y + 1

ein

= \frac{2}{9} (\frac{( 3 y + 1 ) ^{3}}{3} - 3 y + 1)

Vereinfache

\frac{2}{9} (\frac{( 3 y + 1 ) ^{3}}{3} - 3 y + 1) : \frac{2}{9} (\frac{1}{3} (3 y + 1)^{\frac{3}{2}} - 3 y + 1)

= \frac{2}{9} (\frac{1}{3} (3 y + 1)^{\frac{3}{2}} - 3 y + 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2}{9} (\frac{1}{3} (3 y + 1)^{\frac{3}{2}} - 3 y + 1) + C

Graph

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