integral of sqrt(x^2+2x)

Lösung

\int x^{2} + 2 x d x

- ln x^{2} + 2 x + x + 1 + \frac{1}{2} (x + 1) x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} ln x^{2} + 2 x + x + 1 + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} + 2 x d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 2 x : (x + 1)^{2} - 1

= \int (x + 1)^{2} - 1 d x

Wende U-Substitution an

= \int u^{2} - 1 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= - ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

Ersetze zurück

= - ln ∣ tan (arcsec (x + 1)) + sec (arcsec (x + 1)) ∣ + \frac{1}{2} sec (arcsec (x + 1)) tan (arcsec (x + 1)) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arcsec (x + 1)) + sec (arcsec (x + 1)) ∣

Vereinfache

- ln ∣ tan (arcsec (x + 1)) + sec (arcsec (x + 1)) ∣ + \frac{1}{2} sec (arcsec (x + 1)) tan (arcsec (x + 1)) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arcsec (x + 1)) + sec (arcsec (x + 1)) ∣ : - ln x^{2} + 2 x + x + 1 + \frac{1}{2} (x + 1) x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} ln x^{2} + 2 x + x + 1

= - ln x^{2} + 2 x + x + 1 + \frac{1}{2} (x + 1) x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} ln x^{2} + 2 x + x + 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln x^{2} + 2 x + x + 1 + \frac{1}{2} (x + 1) x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} ln x^{2} + 2 x + x + 1 + C

\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} (\frac{1}{x ^{7}})

x \to 3 lim (\frac{x + 4}{x + 7})

\int_{0}^{1} (x^{2} + 3 x + 4) d x

x \to - 3 lim (\frac{3 - x}{3 + x})

d er i v a t i v e 2 (ln (x) + 1)