integral of sqrt(1+cos(pix))

Lösung

\int 1 + cos (π x) d x

\frac{2 2}{π} sin (\frac{π x}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int 1 + cos (π x) d x

Wende U-Substitution an

= \int 1 + cos (u) \frac{1}{π} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{π} \cdot \int 1 + cos (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{π} \cdot \int \frac{2 2}{( 1 + v ^{2} ) 1 + v ^{2}} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{π} \cdot 22 \cdot \int \frac{1}{( 1 + v ^{2} ) 1 + v ^{2}} d v

Vereinfache

(1 + v^{2}) 1 + v^{2} : (1 + v^{2})^{\frac{3}{2}}

= \frac{1}{π} \cdot 22 \cdot \int \frac{1}{( 1 + v ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d v

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{π} \cdot 22 \cdot \int cos (w) d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (w) d w = sin (w)

= \frac{1}{π} \cdot 22 sin (w)

Ersetze zurück

= \frac{1}{π} \cdot 22 sin (arctan (tan (\frac{π x}{2})))

Vereinfache

\frac{1}{π} \cdot 22 sin (arctan (tan (\frac{π x}{2}))) : \frac{2 2}{π} sin (\frac{π x}{2})

= \frac{2 2}{π} sin (\frac{π x}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2 2}{π} sin (\frac{π x}{2}) + C

d er i v a t i v e f (x) = cos (cos (x))

\frac{d}{d x} (ln (24 x))

\int (1 + cot^{2} (θ)) (csc^{2} (θ)) d θ

y^{^{''}} + 2 y^{^{'}} + y = 1

y^{^{''}} - y^{^{'}} + 9 y = 3 sin (3 t)