What is the integral of (e^{2x}+1)^{10}e^{2x} ?

The integral of (e^{2x}+1)^{10}e^{2x} is

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

integral of (e^{2x}+1)^{10}e^{2x}

\int (e^{2 x} + 1)^{10} e^{2 x} d x

\frac{1}{22} e^{22 x} + \frac{1}{2} e^{20 x} + \frac{5}{2} e^{18 x} + \frac{15}{2} e^{16 x} + 15 e^{14 x} + 21 e^{12 x} + 21 e^{10 x} + 15 e^{8 x} + \frac{15}{2} e^{6 x} + \frac{5}{2} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C

Solution steps

\int (e^{2 x} + 1)^{10} e^{2 x} d x

Expand

(e^{2 x} + 1)^{10} e^{2 x} : e^{22 x} + 10 e^{20 x} + 45 e^{18 x} + 120 e^{16 x} + 210 e^{14 x} + 252 e^{12 x} + 210 e^{10 x} + 120 e^{8 x} + 45 e^{6 x} + 10 e^{4 x} + e^{2 x}

= \int e^{22 x} + 10 e^{20 x} + 45 e^{18 x} + 120 e^{16 x} + 210 e^{14 x} + 252 e^{12 x} + 210 e^{10 x} + 120 e^{8 x} + 45 e^{6 x} + 10 e^{4 x} + e^{2 x} d x

Apply the Sum Rule:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{22 x} d x + \int 10 e^{20 x} d x + \int 45 e^{18 x} d x + \int 120 e^{16 x} d x + \int 210 e^{14 x} d x + \int 252 e^{12 x} d x + \int 210 e^{10 x} d x + \int 120 e^{8 x} d x + \int 45 e^{6 x} d x + \int 10 e^{4 x} d x + \int e^{2 x} d x

\int e^{22 x} d x = \frac{1}{22} e^{22 x}

\int 10 e^{20 x} d x = \frac{1}{2} e^{20 x}

\int 45 e^{18 x} d x = \frac{5}{2} e^{18 x}

\int 120 e^{16 x} d x = \frac{15}{2} e^{16 x}

\int 210 e^{14 x} d x = 15 e^{14 x}

\int 252 e^{12 x} d x = 21 e^{12 x}

\int 210 e^{10 x} d x = 21 e^{10 x}

\int 120 e^{8 x} d x = 15 e^{8 x}

\int 45 e^{6 x} d x = \frac{15}{2} e^{6 x}

\int 10 e^{4 x} d x = \frac{5}{2} e^{4 x}

\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x}

= \frac{1}{22} e^{22 x} + \frac{1}{2} e^{20 x} + \frac{5}{2} e^{18 x} + \frac{15}{2} e^{16 x} + 15 e^{14 x} + 21 e^{12 x} + 21 e^{10 x} + 15 e^{8 x} + \frac{15}{2} e^{6 x} + \frac{5}{2} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}

Add a constant to the solution

= \frac{1}{22} e^{22 x} + \frac{1}{2} e^{20 x} + \frac{5}{2} e^{18 x} + \frac{15}{2} e^{16 x} + 15 e^{14 x} + 21 e^{12 x} + 21 e^{10 x} + 15 e^{8 x} + \frac{15}{2} e^{6 x} + \frac{5}{2} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C

What is the integral of (e^{2x}+1)^{10}e^{2x} ?
The integral of (e^{2x}+1)^{10}e^{2x} is