integral of 8sin^4(y)cos^2(y)

Lösung

\int 8 sin^{4} (y) cos^{2} (y) d y

3 y - \frac{1}{3} sin^{3} (y) cos (y) - \frac{3}{2} sin (2 y) + \frac{4}{3} sin^{5} (y) cos (y) - \frac{5}{4} (2 y - sin (2 y)) + C

Schritte zur Lösung

\int 8 sin^{4} (y) cos^{2} (y) d y

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int sin^{4} (y) cos^{2} (y) d y

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 8 \cdot \int sin^{4} (y) (1 - sin^{2} (y)) d y

Multipliziere aus

sin^{4} (y) (1 - sin^{2} (y)) : sin^{4} (y) - sin^{6} (y)

= 8 \cdot \int sin^{4} (y) - sin^{6} (y) d y

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 8 (\int sin^{4} (y) d y - \int sin^{6} (y) d y)

\int sin^{4} (y) d y = - \frac{1}{4} sin^{3} (y) cos (y) + \frac{3}{8} (y - \frac{1}{2} sin (2 y))

\int sin^{6} (y) d y = - \frac{cos ( y ) sin ^{5} ( y )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (y) cos (y) + \frac{3}{8} (y - \frac{1}{2} sin (2 y)))

= 8 (- \frac{1}{4} sin^{3} (y) cos (y) + \frac{3}{8} (y - \frac{1}{2} sin (2 y)) - (- \frac{cos ( y ) sin ^{5} ( y )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (y) cos (y) + \frac{3}{8} (y - \frac{1}{2} sin (2 y)))))

Vereinfache

8 (- \frac{1}{4} sin^{3} (y) cos (y) + \frac{3}{8} (y - \frac{1}{2} sin (2 y)) - (- \frac{cos ( y ) sin ^{5} ( y )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (y) cos (y) + \frac{3}{8} (y - \frac{1}{2} sin (2 y))))) : 3 y - \frac{1}{3} sin^{3} (y) cos (y) - \frac{3}{2} sin (2 y) + \frac{4}{3} sin^{5} (y) cos (y) - \frac{5}{4} (2 y - sin (2 y))

= 3 y - \frac{1}{3} sin^{3} (y) cos (y) - \frac{3}{2} sin (2 y) + \frac{4}{3} sin^{5} (y) cos (y) - \frac{5}{4} (2 y - sin (2 y))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 3 y - \frac{1}{3} sin^{3} (y) cos (y) - \frac{3}{2} sin (2 y) + \frac{4}{3} sin^{5} (y) cos (y) - \frac{5}{4} (2 y - sin (2 y)) + C

\int \frac{3 x + 2}{x - 3} d x

\int x 23 x - 16 d x

\int (x) (2) d x

\int \frac{x ^{3}}{x ^{2} - 4 x + 3} d x

\int ln (e^{(2 t - 1)}) d t