integral of (x^4)/((x-1)^2)

解

\int \frac{x ^{4}}{( x - 1 ) ^{2}} d x

- \frac{x ^{4}}{x - 1} + 4 (\frac{1}{3} (x - 1)^{3} + \frac{3}{2} (x - 1)^{2} + 3 (x - 1) + ln ∣ x - 1 ∣) + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{4}}{( x - 1 ) ^{2}} d x

部分積分を適用する

= - \frac{x ^{4}}{x - 1} - \int - \frac{4 x ^{3}}{x - 1} d x

\int - \frac{4 x ^{3}}{x - 1} d x = - 4 (\frac{( x - 1 ) ^{3}}{3} + \frac{3 ( x - 1 ) ^{2}}{2} + 3 (x - 1) + ln ∣ x - 1 ∣)

= - \frac{x ^{4}}{x - 1} - (- 4 (\frac{( x - 1 ) ^{3}}{3} + \frac{3 ( x - 1 ) ^{2}}{2} + 3 (x - 1) + ln ∣ x - 1 ∣))

簡素化

- \frac{x ^{4}}{x - 1} - (- 4 (\frac{( x - 1 ) ^{3}}{3} + \frac{3 ( x - 1 ) ^{2}}{2} + 3 (x - 1) + ln ∣ x - 1 ∣)) : - \frac{x ^{4}}{x - 1} + 4 (\frac{1}{3} (x - 1)^{3} + \frac{3}{2} (x - 1)^{2} + 3 (x - 1) + ln ∣ x - 1 ∣)

= - \frac{x ^{4}}{x - 1} + 4 (\frac{1}{3} (x - 1)^{3} + \frac{3}{2} (x - 1)^{2} + 3 (x - 1) + ln ∣ x - 1 ∣)

定数を解答に追加する

= - \frac{x ^{4}}{x - 1} + 4 (\frac{1}{3} (x - 1)^{3} + \frac{3}{2} (x - 1)^{2} + 3 (x - 1) + ln ∣ x - 1 ∣) + C