integral of (3x+2)/(x^2+3x)

解

\int \frac{3 x + 2}{x ^{2} + 3 x} d x

\frac{2}{3} ln ∣ x ∣ + \frac{7}{3} ln ∣ x + 3 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{3 x + 2}{x ^{2} + 3 x} d x

拡張

\frac{3 x + 2}{x ^{2} + 3 x} : \frac{3 x}{x ^{2} + 3 x} + \frac{2}{x ^{2} + 3 x}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{3 x}{x ^{2} + 3 x} d x + \int \frac{2}{x ^{2} + 3 x} d x

\int \frac{3 x}{x ^{2} + 3 x} d x = 3 ln ∣ x + 3 ∣

\int \frac{2}{x ^{2} + 3 x} d x = 2 (\frac{1}{3} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ x + 3 ∣)

= 3 ln ∣ x + 3 ∣ + 2 (\frac{1}{3} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ x + 3 ∣)

簡素化

3 ln ∣ x + 3 ∣ + 2 (\frac{1}{3} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ x + 3 ∣) : \frac{2}{3} ln ∣ x ∣ + \frac{7}{3} ln ∣ x + 3 ∣

= \frac{2}{3} ln ∣ x ∣ + \frac{7}{3} ln ∣ x + 3 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{2}{3} ln ∣ x ∣ + \frac{7}{3} ln ∣ x + 3 ∣ + C