integral of 1/(2+sin(x)+3cos(x))

Lösung

\int \frac{1}{2 + sin ( x ) + 3 cos ( x )} d x

\frac{1}{6} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{6} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{6} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 + sin ( x ) + 3 cos ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{- u ^{2} + 2 u + 5} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{- u ^{2} + 2 u + 5} d u

Vervollständige das Quadrat

- u^{2} + 2 u + 5 : - (u - 1)^{2} + 6

= 2 \cdot \int \frac{1}{- ( u - 1 ) ^{2} + 6} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 6} d v

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{6 ( - w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{6} (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2})

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{6} \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 1}{6} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 1}{6} - 1}{2}

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{6} \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 1}{6} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 1}{6} - 1}{2} : \frac{1}{6} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{6} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{6} - 1)

= \frac{1}{6} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{6} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{6} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{6} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{6} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{6} - 1) + C

\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 2 y^{2})

\int_{- 2}^{4} 10 + 4 x - 3 x^{3} d x

\int x - \frac{x}{x ^{2} + 1} d x

\int \frac{5 x + 1}{6 x ^{2} + 7 x - 3} d x

\int sin (x) + 1 d x