integral from 4 to e^x of (y^4sin(y))

解

\int_{4}^{e^{x}} (y^{4} sin (y)) d y

- e^{4 x} cos (e^{x}) + 4 e^{3 x} sin (e^{x}) + 12 e^{2 x} cos (e^{x}) - 24 e^{x} sin (e^{x}) - 24 cos (e^{x}) + 88 cos (4) - 160 sin (4)

解答ステップ

\int_{4}^{e^{x}} y^{4} sin (y) d y

部分積分を適用する

= [- y^{4} cos (y) - \int - 4 y^{3} cos (y) d y]_{4}^{e^{x}}

\int - 4 y^{3} cos (y) d y = - 4 (y^{3} sin (y) - 3 (- y^{2} cos (y) + 2 (y sin (y) + cos (y))))

= [- y^{4} cos (y) - (- 4 (y^{3} sin (y) - 3 (- y^{2} cos (y) + 2 (y sin (y) + cos (y)))))]_{4}^{e^{x}}

簡素化

= [- y^{4} cos (y) + 4 (y^{3} sin (y) - 3 (- y^{2} cos (y) + 2 (y sin (y) + cos (y))))]_{4}^{e^{x}}

限度を計算する:

- e^{4 x} cos (e^{x}) + 4 e^{3 x} sin (e^{x}) + 12 e^{2 x} cos (e^{x}) - 24 e^{x} sin (e^{x}) - 24 cos (e^{x}) + 88 cos (4) - 160 sin (4)

= - e^{4 x} cos (e^{x}) + 4 e^{3 x} sin (e^{x}) + 12 e^{2 x} cos (e^{x}) - 24 e^{x} sin (e^{x}) - 24 cos (e^{x}) + 88 cos (4) - 160 sin (4)