integral of t^4e^{-st}

解

\int t^{4} e^{- s t} d t

- e^{- s t} \frac{1}{s} t^{4} + \frac{4}{s ^{5}} (- s^{3} e^{- s t} t^{3} - 3 (s^{2} e^{- s t} t^{2} - 2 (- s e^{- s t} t - e^{- s t}))) + C

解答ステップ

\int t^{4} e^{- s t} d t

部分積分を適用する

= - e^{- s t} \frac{1}{s} t^{4} - \int - e^{- s t} \frac{4}{s} t^{3} d t

\int - e^{- s t} \frac{4}{s} t^{3} d t = - \frac{4}{s ^{5}} (- s^{3} e^{- s t} t^{3} - 3 (s^{2} e^{- s t} t^{2} - 2 (- s e^{- s t} t - e^{- s t})))

= - e^{- s t} \frac{1}{s} t^{4} - (- \frac{4}{s ^{5}} (- s^{3} e^{- s t} t^{3} - 3 (s^{2} e^{- s t} t^{2} - 2 (- s e^{- s t} t - e^{- s t}))))

簡素化

= - e^{- s t} \frac{1}{s} t^{4} + \frac{4}{s ^{5}} (- s^{3} e^{- s t} t^{3} - 3 (s^{2} e^{- s t} t^{2} - 2 (- s e^{- s t} t - e^{- s t})))

定数を解答に追加する

= - e^{- s t} \frac{1}{s} t^{4} + \frac{4}{s ^{5}} (- s^{3} e^{- s t} t^{3} - 3 (s^{2} e^{- s t} t^{2} - 2 (- s e^{- s t} t - e^{- s t}))) + C