integral from 0 to x of e^{(-t^2)/2}

解

\int_{0}^{x} e^{\frac{- t ^{2}}{2}} d t

(\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{x}{2})

解答ステップ

\int_{0}^{x} e^{\frac{- t ^{2}}{2}} d t

簡素化

= \int_{0}^{x} e^{- \frac{t ^{2}}{2}} d t

指数の規則を適用する:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{t ^{2}}{2} = (\frac{t}{2})^{2}

= \int_{0}^{x} e^{- (\frac{t}{2})^{2}} d t

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{\frac{x}{2}} e^{- u^{2}} 2 d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{0}^{\frac{x}{2}} e^{- u^{2}} d u

非初等積分を使用する:

\int e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} erf (u)

= 2 [\frac{π}{2} erf (u)]_{0}^{\frac{x}{2}}

限度を計算する:

\frac{π}{2} erf (\frac{x}{2})

= 2 \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2})

簡素化

= (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{x}{2})