integral of x^6sin(x)cos(x)

Lösung

\int x^{6} sin (x) cos (x) d x

\frac{1}{16} (- 4 x^{6} cos (2 x) + 3 (4 x^{5} sin (2 x) - 5 (- 2 x^{4} cos (2 x) + 4 x^{3} sin (2 x) - 3 (- 2 x^{2} cos (2 x) + 2 x sin (2 x) + cos (2 x))))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{6} sin (x) cos (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{2} x^{6} sin (2 x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int x^{6} sin (2 x) d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u ^{6} sin ( u )}{128} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{128} \cdot \int u^{6} sin (u) d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{128} (- u^{6} cos (u) - \int - 6 u^{5} cos (u) d u)

\int - 6 u^{5} cos (u) d u = - 6 (u^{5} sin (u) - 5 (- u^{4} cos (u) + 4 (u^{3} sin (u) - 3 (- u^{2} cos (u) + 2 (u sin (u) + cos (u))))))

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{128} (- u^{6} cos (u) - (- 6 (u^{5} sin (u) - 5 (- u^{4} cos (u) + 4 (u^{3} sin (u) - 3 (- u^{2} cos (u) + 2 (u sin (u) + cos (u))))))))

Setze in

u = 2 x

ein

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{128} (- (2 x)^{6} cos (2 x) - (- 6 ((2 x)^{5} sin (2 x) - 5 (- (2 x)^{4} cos (2 x) + 4 ((2 x)^{3} sin (2 x) - 3 (- (2 x)^{2} cos (2 x) + 2 (2 x sin (2 x) + cos (2 x))))))))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{128} (- (2 x)^{6} cos (2 x) - (- 6 ((2 x)^{5} sin (2 x) - 5 (- (2 x)^{4} cos (2 x) + 4 ((2 x)^{3} sin (2 x) - 3 (- (2 x)^{2} cos (2 x) + 2 (2 x sin (2 x) + cos (2 x)))))))) : \frac{1}{16} (- 4 x^{6} cos (2 x) + 3 (4 x^{5} sin (2 x) - 5 (- 2 x^{4} cos (2 x) + 4 x^{3} sin (2 x) - 3 (- 2 x^{2} cos (2 x) + 2 x sin (2 x) + cos (2 x)))))

= \frac{1}{16} (- 4 x^{6} cos (2 x) + 3 (4 x^{5} sin (2 x) - 5 (- 2 x^{4} cos (2 x) + 4 x^{3} sin (2 x) - 3 (- 2 x^{2} cos (2 x) + 2 x sin (2 x) + cos (2 x)))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{16} (- 4 x^{6} cos (2 x) + 3 (4 x^{5} sin (2 x) - 5 (- 2 x^{4} cos (2 x) + 4 x^{3} sin (2 x) - 3 (- 2 x^{2} cos (2 x) + 2 x sin (2 x) + cos (2 x))))) + C

\int sin (6 x) sin (7 x) d x

\int \frac{4}{( 2 x + 2 ) ( 2 x - 2 )} d x

\int \frac{3 x ^{2} + 4 x}{2 x} d x

\int - e^{- x} \cdot 2 x d x

\int tan^{2} (x) csc (x) d x