integral of 1/(9+e^{2x)}

Lösung

\int \frac{1}{9 + e ^{2 x}} d x

\frac{1}{18} (- ln 9 + e^{2 x} + 2 x) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{9 + e ^{2 x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 u ( u - 9 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ( u - 9 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ( u - 9 )} : - \frac{1}{9 u} + \frac{1}{9 ( u - 9 )}

= \frac{1}{2} \cdot \int - \frac{1}{9 u} + \frac{1}{9 ( u - 9 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{9 u} d u + \int \frac{1}{9 ( u - 9 )} d u)

\int \frac{1}{9 u} d u = \frac{1}{9} ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{9 ( u - 9 )} d u = \frac{1}{9} ln ∣ u - 9 ∣

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{9} ln ∣ u ∣ + \frac{1}{9} ln ∣ u - 9 ∣)

Setze in

u = 9 + e^{2 x}

ein

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{9} ln 9 + e^{2 x} + \frac{1}{9} ln 9 + e^{2 x} - 9)

Vereinfache

\frac{1}{2} (- \frac{1}{9} ln 9 + e^{2 x} + \frac{1}{9} ln 9 + e^{2 x} - 9) : \frac{1}{18} (- ln 9 + e^{2 x} + 2 x)

= \frac{1}{18} (- ln 9 + e^{2 x} + 2 x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{18} (- ln 9 + e^{2 x} + 2 x) + C

\int (- \frac{2}{x ^{3}}) d x

\int x e^{- x - 1} d x

\int \frac{sin ( θ )}{cos ^{4} ( θ )} d θ

\int e^{3 a x} d x

\int - 5 cot^{3} (x) csc^{5} (x) d x