integral of sqrt(v^2+2v)

Lösung

\int v^{2} + 2 v d v

- ln v^{2} + 2 v + v + 1 + \frac{1}{2} (v + 1) v^{2} + 2 v + \frac{1}{2} ln v^{2} + 2 v + v + 1 + C

Schritte zur Lösung

\int v^{2} + 2 v d v

Vervollständige das Quadrat

v^{2} + 2 v : (v + 1)^{2} - 1

= \int (v + 1)^{2} - 1 d v

Wende U-Substitution an

= \int u^{2} - 1 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int tan^{2} (w) sec (w) d w

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int (- 1 + sec^{2} (w)) sec (w) d w

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (w)) sec (w) : - sec (w) + sec^{3} (w)

= \int - sec (w) + sec^{3} (w) d w

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int sec (w) d w + \int sec^{3} (w) d w

\int sec (w) d w = ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

\int sec^{3} (w) d w = \frac{1}{2} sec (w) tan (w) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

= - ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣ + \frac{1}{2} sec (w) tan (w) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

Ersetze zurück

= - ln ∣ tan (arcsec (v + 1)) + sec (arcsec (v + 1)) ∣ + \frac{1}{2} sec (arcsec (v + 1)) tan (arcsec (v + 1)) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arcsec (v + 1)) + sec (arcsec (v + 1)) ∣

Vereinfache

- ln ∣ tan (arcsec (v + 1)) + sec (arcsec (v + 1)) ∣ + \frac{1}{2} sec (arcsec (v + 1)) tan (arcsec (v + 1)) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arcsec (v + 1)) + sec (arcsec (v + 1)) ∣ : - ln v^{2} + 2 v + v + 1 + \frac{1}{2} (v + 1) v^{2} + 2 v + \frac{1}{2} ln v^{2} + 2 v + v + 1

= - ln v^{2} + 2 v + v + 1 + \frac{1}{2} (v + 1) v^{2} + 2 v + \frac{1}{2} ln v^{2} + 2 v + v + 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln v^{2} + 2 v + v + 1 + \frac{1}{2} (v + 1) v^{2} + 2 v + \frac{1}{2} ln v^{2} + 2 v + v + 1 + C

\int \frac{x + 1}{2 x + 3} d x

\int x^{2} 2^{- x} d x

\int \frac{1 + x}{1 + 3 x} d x

\int \frac{10 t}{t ^{2} + 9} d t

\int 3 x^{3} + 1 \cdot 3 x^{2} d x