интеграл от λxe^{-λx}

Решение

\int λ x e^{- λ x} d x

- e^{- λ x} x - \frac{e ^{- λ x}}{λ} + C

Шаги решения

\int λ x e^{- λ x} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= λ \cdot \int x e^{- λ x} d x

Применить подстановку интеграла

= λ \cdot \int \frac{e ^{u} u}{λ ^{2}} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= λ \frac{1}{λ ^{2}} \cdot \int e^{u} u d u

Применить интегрирование по частям

= λ \frac{1}{λ ^{2}} (e^{u} u - \int e^{u} d u)

\int e^{u} d u = e^{u}

= λ \frac{1}{λ ^{2}} (e^{u} u - e^{u})

Делаем обратную замену

u = - λ x

= λ \frac{1}{λ ^{2}} (e^{- λ x} (- λ x) - e^{- λ x})

Упростите

λ \frac{1}{λ ^{2}} (e^{- λ x} (- λ x) - e^{- λ x}) : - e^{- λ x} x - \frac{e ^{- λ x}}{λ}

= - e^{- λ x} x - \frac{e ^{- λ x}}{λ}

Добавить константу к решению

= - e^{- λ x} x - \frac{e ^{- λ x}}{λ} + C