integral of x/(ln^3(x))

解答

\int \frac{x}{ln ^{3} ( x )} d x

4 (- \frac{x ^{2}}{8 ln ^{2} ( x )} + \frac{1}{2} (- \frac{x ^{2}}{2 ln ( x )} + Ei (2 ln (x)))) + C

求解步骤

\int \frac{x}{ln ^{3} ( x )} d x

使用换元积分法

= \int \frac{e ^{2 u}}{u ^{3}} d u

使用换元积分法

= \int \frac{4 e ^{v}}{v ^{3}} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{e ^{v}}{v ^{3}} d v

使用分布积分法

= 4 (- \frac{e ^{v}}{2 v ^{2}} - \int - \frac{e ^{v}}{2 v ^{2}} d v)

\int - \frac{e ^{v}}{2 v ^{2}} d v = - \frac{1}{2} (- \frac{e ^{v}}{v} + Ei (v))

= 4 (- \frac{e ^{v}}{2 v ^{2}} - (- \frac{1}{2} (- \frac{e ^{v}}{v} + Ei (v))))

代回

= 4 (- \frac{e ^{2 l n (x)}}{2 ( 2 ln ( x ) ) ^{2}} - (- \frac{1}{2} (- \frac{e ^{2 l n (x)}}{2 ln ( x )} + Ei (2 ln (x)))))

化简

4 (- \frac{e ^{2 l n (x)}}{2 ( 2 ln ( x ) ) ^{2}} - (- \frac{1}{2} (- \frac{e ^{2 l n (x)}}{2 ln ( x )} + Ei (2 ln (x))))) : 4 (- \frac{x ^{2}}{8 ln ^{2} ( x )} + \frac{1}{2} (- \frac{x ^{2}}{2 ln ( x )} + Ei (2 ln (x))))

= 4 (- \frac{x ^{2}}{8 ln ^{2} ( x )} + \frac{1}{2} (- \frac{x ^{2}}{2 ln ( x )} + Ei (2 ln (x))))

解答补常数

= 4 (- \frac{x ^{2}}{8 ln ^{2} ( x )} + \frac{1}{2} (- \frac{x ^{2}}{2 ln ( x )} + Ei (2 ln (x)))) + C

\int \frac{6 - x ^{3}}{x x} d x

\int x^{3} - sec^{2} (x) d x

\int \frac{0}{x - 1} d x

\int \frac{x y}{1 + x ^{2}} d x

\int 11 x x^{2} + 5 d x