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integral of tan^3(x/4)sec^3(x/4)

解答

\int tan^{3} (\frac{x}{4}) sec^{3} (\frac{x}{4}) d x

解答

4 (\frac{sec ^{5} ( \frac{x}{4} )}{5} - \frac{sec ^{3} ( \frac{x}{4} )}{3}) + C

求解步骤

\int tan^{3} (\frac{x}{4}) sec^{3} (\frac{x}{4}) d x

使用换元积分法

= \int tan^{3} (u) sec^{3} (u) \cdot 4 d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int tan^{3} (u) sec^{3} (u) d u

使用三角恒等式改写

= 4 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) tan (u) sec^{3} (u) d u

使用换元积分法

= 4 \cdot \int v^{2} (v^{2} - 1) d v

乘开

v^{2} (v^{2} - 1) : v^{4} - v^{2}

= 4 \cdot \int v^{4} - v^{2} d v

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (\int v^{4} d v - \int v^{2} d v)

\int v^{4} d v = \frac{v ^{5}}{5}

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

= 4 (\frac{v ^{5}}{5} - \frac{v ^{3}}{3})

代回

= 4 (\frac{sec ^{5} ( \frac{x}{4} )}{5} - \frac{sec ^{3} ( \frac{x}{4} )}{3})

解答补常数

= 4 (\frac{sec ^{5} ( \frac{x}{4} )}{5} - \frac{sec ^{3} ( \frac{x}{4} )}{3}) + C

作图

流行的例子

integral of (e^{5x})/(e^{5x)+5}

\int \frac{e ^{5 x}}{e ^{5 x} + 5} d x

integral of 1/((sin^2(x)))

\int \frac{1}{( sin ^{2} ( x ) )} d x

integral of e^{x/3}x^2

\int e^{\frac{x}{3}} x^{2} d x

integral of 2*sin(2x)

\int 2 \cdot sin (2 x) d x

integral of (1-t)(6+t^2)

\int (1 - t) (6 + t^{2}) d t