integral of 1/((4x^2+1)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( 4 x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{( 1 + 4 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 4 x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{2 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{2} sin (u)

Setze in

u = arctan (2 x)

ein

= \frac{1}{2} sin (arctan (2 x))

Vereinfache

\frac{1}{2} sin (arctan (2 x)) : \frac{x}{( 1 + 4 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{( 1 + 4 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{( 1 + 4 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int (a x + b)^{\frac{3}{2}} d x

\int \frac{1}{5 x - x ^{2}} d x

\int \frac{x ^{3} + x ^{2}}{x ^{2} + x - 2} d x

\int (2 x^{5} - 20 x)^{3} (x^{4} - 2) d x

\int \frac{cosh ( x )}{cosh ^{2} ( x ) - 1} d x