integral of (x^2+4x)e^{2x}

解

\int (x^{2} + 4 x) e^{2 x} d x

\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} x - \frac{3}{4} e^{2 x} + C

解答ステップ

\int (x^{2} + 4 x) e^{2 x} d x

拡張

(x^{2} + 4 x) e^{2 x} : e^{2 x} x^{2} + 4 e^{2 x} x

= \int e^{2 x} x^{2} + 4 e^{2 x} x d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{2 x} x^{2} d x + \int 4 e^{2 x} x d x

\int e^{2 x} x^{2} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})

\int 4 e^{2 x} x d x = 2 e^{2 x} x - e^{2 x}

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}) + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}

簡素化

\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}) + 2 e^{2 x} x - e^{2 x} : \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} x - \frac{3}{4} e^{2 x}

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} x - \frac{3}{4} e^{2 x}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} x - \frac{3}{4} e^{2 x} + C