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人気のある微分積分 >

integral of (2e^x+e^{-x})/(3e^x-4e^{-x)}

解

\int \frac{2 e ^{x} + e ^{- x}}{3 e ^{x} - 4 e ^{- x}} d x

解

\frac{2}{3} x + \frac{1}{3} ln 2 e^{- x} + 3 + \frac{1}{3} ln 2 e^{- x} - 3 + \frac{1}{8} ln - 4 e^{- 2 x} + 3 + C

解答ステップ

\int \frac{2 e ^{x} + e ^{- x}}{3 e ^{x} - 4 e ^{- x}} d x

u置換積分法を適用する

= \int - \frac{2 + u ^{2}}{u ( - 4 u ^{2} + 3 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{2 + u ^{2}}{u ( - 4 u ^{2} + 3 )} d u

拡張

\frac{2 + u ^{2}}{u ( - 4 u ^{2} + 3 )} : \frac{2}{u ( - 4 u ^{2} + 3 )} + \frac{u ^{2}}{u ( - 4 u ^{2} + 3 )}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (\int \frac{2}{u ( - 4 u ^{2} + 3 )} d u + \int \frac{u ^{2}}{u ( - 4 u ^{2} + 3 )} d u)

\int \frac{2}{u ( - 4 u ^{2} + 3 )} d u = 2 (\frac{1}{3} ln ∣ u ∣ - \frac{1}{6} ln 2 u + 3 - \frac{1}{6} ln 2 u - 3)

\int \frac{u ^{2}}{u ( - 4 u ^{2} + 3 )} d u = - \frac{1}{8} ln - 4 u^{2} + 3

= - (2 (\frac{1}{3} ln ∣ u ∣ - \frac{1}{6} ln 2 u + 3 - \frac{1}{6} ln 2 u - 3) - \frac{1}{8} ln - 4 u^{2} + 3)

代用を戻す

u = e^{- x}

= - (2 (\frac{1}{3} ln e^{- x} - \frac{1}{6} ln 2 e^{- x} + 3 - \frac{1}{6} ln 2 e^{- x} - 3) - \frac{1}{8} ln - 4 (e^{- x})^{2} + 3)

簡素化

- (2 (\frac{1}{3} ln e^{- x} - \frac{1}{6} ln 2 e^{- x} + 3 - \frac{1}{6} ln 2 e^{- x} - 3) - \frac{1}{8} ln - 4 (e^{- x})^{2} + 3) : \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} ln 2 e^{- x} + 3 + \frac{1}{3} ln 2 e^{- x} - 3 + \frac{1}{8} ln - 4 e^{- 2 x} + 3

= \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} ln 2 e^{- x} + 3 + \frac{1}{3} ln 2 e^{- x} - 3 + \frac{1}{8} ln - 4 e^{- 2 x} + 3

定数を解答に追加する

= \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} ln 2 e^{- x} + 3 + \frac{1}{3} ln 2 e^{- x} - 3 + \frac{1}{8} ln - 4 e^{- 2 x} + 3 + C

グラフ

人気の例

integral of 8^xsin(8^x)

\int 8^{x} sin (8^{x}) d x

integral of 1/(3\sqrt[3]{x)}

\int \frac{1}{3 3 x} d x

integral of (2x)(1-x^{-3})

\int (2 x) (1 - x^{- 3}) d x

integral of (cos(x))/(2sin(x)+3)

\int \frac{cos ( x )}{2 sin ( x ) + 3} d x

integral of (cos(pi/(x^{17)}))/(x^{18)}

\int \frac{cos ( \frac{π}{x ^{17}} )}{x ^{18}} d x