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integral of 1/(x^4+2x^2+1)

解

\int \frac{1}{x ^{4} + 2 x ^{2} + 1} d x

解

\frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{x ^{4} + 2 x ^{2} + 1} d x

因数

\frac{1}{x ^{4} + 2 x ^{2} + 1}

= \int \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

三角関数による置換を適用する

= \int \frac{1}{sec ^{4} ( u ) cos ^{2} ( u )} d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

代用を戻す

u = arctan (x)

= \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x)))

簡素化

\frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x))) : \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}})

= \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}})

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}) + C

グラフ

人気の例

integral of x/(x^2-y^2)

\int \frac{x}{x ^{2} - y ^{2}} d x

integral of (x^2+21)/(x^2+25)

\int \frac{x ^{2} + 21}{x ^{2} + 25} d x

integral of sqrt(x^2-11)

\int x^{2} - 11 d x

integral of e^{3x}+1/(x^3)-7x^{3/2}

\int e^{3 x} + \frac{1}{x ^{3}} - 7 x^{\frac{3}{2}} d x

integral of cot(x)e^{ln(sin(x))}

\int cot (x) e^{l n (s i n (x))} d x