integral of e^{-x}sin^2(2x)

解答

\int e^{- x} sin^{2} (2 x) d x

- \frac{8}{17} e^{- x} cos (4 x) - \frac{2}{17} e^{- x} sin (4 x) - e^{- x} sin^{2} (2 x) + C

求解步骤

\int e^{- x} sin^{2} (2 x) d x

使用换元积分法

= \int - e^{u} sin^{2} (2 u) d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int e^{u} sin^{2} (2 u) d u

使用分布积分法

= - (sin^{2} (2 u) e^{u} - \int 2 sin (4 u) e^{u} d u)

\int 2 sin (4 u) e^{u} d u = 2 (- \frac{4 e ^{u} cos ( 4 u )}{17} + \frac{e ^{u} sin ( 4 u )}{17})

= - (sin^{2} (2 u) e^{u} - 2 (- \frac{4 e ^{u} cos ( 4 u )}{17} + \frac{e ^{u} sin ( 4 u )}{17}))

u = - x

代回

= - (sin^{2} (2 (- x)) e^{- x} - 2 (- \frac{4 e ^{- x} cos ( 4 ( - x ) )}{17} + \frac{e ^{- x} sin ( 4 ( - x ) )}{17}))

化简

- (sin^{2} (2 (- x)) e^{- x} - 2 (- \frac{4 e ^{- x} cos ( 4 ( - x ) )}{17} + \frac{e ^{- x} sin ( 4 ( - x ) )}{17})) : - \frac{8}{17} e^{- x} cos (4 x) - \frac{2}{17} e^{- x} sin (4 x) - e^{- x} sin^{2} (2 x)

= - \frac{8}{17} e^{- x} cos (4 x) - \frac{2}{17} e^{- x} sin (4 x) - e^{- x} sin^{2} (2 x)

解答补常数

= - \frac{8}{17} e^{- x} cos (4 x) - \frac{2}{17} e^{- x} sin (4 x) - e^{- x} sin^{2} (2 x) + C

\int (\frac{8}{x} - \frac{5}{x ^{2}} + \frac{6}{x ^{3}}) d x

\int (2 x^{2} + 3 x + 2) sin (3 x) d x

\int \frac{3}{x ( ln ( x ) ) ^{3}} d x

\int x (5 - x)^{5} d x

\int x (5 - x)^{9} d x