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人気のある微分積分 >

integral of 1/((x^2+2x+5)^2)

解

\int \frac{1}{( x ^{2} + 2 x + 5 ) ^{2}} d x

解

\frac{1}{16} (arctan (\frac{1}{2} (x + 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{1}{2} (x + 1)))) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{( x ^{2} + 2 x + 5 ) ^{2}} d x

平方完成する

x^{2} + 2 x + 5 : (x + 1)^{2} + 4

= \int \frac{1}{( ( x + 1 ) ^{2} + 4 ) ^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{( u ^{2} + 4 ) ^{2}} d u

置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{8 ( v ^{2} + 1 ) ^{2}} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1}{( v ^{2} + 1 ) ^{2}} d v

三角関数による置換を適用する

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( w ) cos ^{2} ( w )} d w

三角関数の公式を使用して書き換える

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 w )}{2} d w

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 w) d w

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d w + \int cos (2 w) d w)

\int 1 d w = w

\int cos (2 w) d w = \frac{1}{2} sin (2 w)

= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (w + \frac{1}{2} sin (2 w))

代用を戻す

= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x + 1}{2})))

簡素化

\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x + 1}{2}))) : \frac{1}{16} (arctan (\frac{1}{2} (x + 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{1}{2} (x + 1))))

= \frac{1}{16} (arctan (\frac{1}{2} (x + 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{1}{2} (x + 1))))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{16} (arctan (\frac{1}{2} (x + 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{1}{2} (x + 1)))) + C

グラフ

人気の例

integral of 1/(3+2cos(x))

\int \frac{1}{3 + 2 cos ( x )} d x

integral of sin(2x)sqrt(cos(2x))

\int sin (2 x) cos (2 x) d x

integral of x\sqrt[4]{4x^2+5}

\int x 4 4 x^{2} + 5 d x

integral of x^3sqrt(x^2+13)

\int x^{3} x^{2} + 13 d x

integral of 9x^{-5}

\int 9 x^{- 5} d x