integral of (ln(1+e^x))/(e^x)

Lösung

\int \frac{ln ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x}} d x

- e^{- x} ln (1 + e^{x}) - ln ∣ 1 + e^{x} ∣ + x + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{ln ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x}} d x

Wende Exponentenregel an:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{ln ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x}} = (ln (1 + e^{x})) e^{- x}

= \int ln (1 + e^{x}) e^{- x} d x

Wende die partielle Integration an

= - e^{- x} ln (1 + e^{x}) - \int - \frac{1}{1 + e ^{x}} d x

\int - \frac{1}{1 + e ^{x}} d x = ln ∣ 1 + e^{x} ∣ - x

= - e^{- x} ln (1 + e^{x}) - (ln ∣ 1 + e^{x} ∣ - x)

Vereinfache

= - e^{- x} ln (1 + e^{x}) - ln ∣ 1 + e^{x} ∣ + x

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - e^{- x} ln (1 + e^{x}) - ln ∣ 1 + e^{x} ∣ + x + C

\int \frac{1}{x ^{4} x ^{2} - 4} d x

\int \frac{1 + cos ( x )}{x + sin ( x )} d x

\int \frac{5 - 2 x}{12 x - 4 x ^{2}} d x

in t e g r a l 2^{x}

\int tan^{3} (2 - x) sec (2 - x) d x