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integral of 9xsqrt(1-x^4)

Lösung

\int 9 x 1 - x^{4} d x

\frac{9}{4} (arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x^{2}))) + C

Schritte zur Lösung

\int 9 x 1 - x^{4} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int x 1 - x^{4} d x

Vereinfache

x^{4} : (x^{2})^{2}

= 9 \cdot \int x 1 - (x^{2})^{2} d x

Wende U-Substitution an

= 9 \cdot \int \frac{1 - u ^{2}}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - u^{2} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x^{2})))

Vereinfache

9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x^{2}))) : \frac{9}{4} (arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x^{2})))

= \frac{9}{4} (arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x^{2})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{9}{4} (arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x^{2}))) + C

2 cos (x) d y = (y sin (x) - y^{3}) d x

\int \frac{ln ( x )}{( 1 + ln ( x ) ) ^{2}} d x

in v erse l a pl a ce \frac{1 + 5 s ^{2}}{s ^{2} ( s - 9 )}

\int 8 e^{5 x} d x

(2 x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0, y (1) = 4