интеграл от 2/(sqrt(1-(pix)^2))

Решение

\int \frac{2}{1 - ( π x ) ^{2}} d x

1.27323 \dots (\frac{3.14159 \dots x}{4 - 39.47841 \dots x ^{2}} - 0.5 (- arcsin (3.14159 \dots x) + \frac{3.14159 \dots x}{1 - 9.86960 \dots x ^{2}})) + C

Шаги решения

\int \frac{2}{1 - ( π x ) ^{2}} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{1 - ( π x ) ^{2}} d x

Упростите

(π x)^{2} : 9.86960 \dots x^{2}

= 2 \cdot \int \frac{1}{1 - 9.86960 \dots x ^{2}} d x

Примените тригонометрическую подстановку

= 2 \cdot \int \frac{0.31830 \dots cos ( u )}{1 - 1 sin ^{2} ( u )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 0.31830 \dots \cdot \int \frac{cos ( u )}{1 - 1 sin ^{2} ( u )} d u

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot 0.31830 \dots \cdot \int \frac{1}{1 - 1 v ^{2}} d v

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot 0.31830 \dots \cdot \int \frac{1}{4 - 1 w ^{2}} d w

Примените тригонометрическую подстановку

= 2 \cdot 0.31830 \dots \cdot \int \frac{2 cos ( t )}{4 - 4 sin ^{2} ( t )} d t

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 0.31830 \dots \cdot 2 \cdot \int \frac{cos ( t )}{4 - 4 sin ^{2} ( t )} d t

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot 0.31830 \dots \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{4 - 4 r ^{2}} d r

Применить интегрирование по частям

= 2 \cdot 0.31830 \dots \cdot 2 (\frac{r}{4 - 4 r ^{2}} - \int \frac{4 r ^{2}}{( 4 - 4 r ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d r)

\int \frac{4 r ^{2}}{( 4 - 4 r ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d r = \frac{1}{2} (- arcsin (r) + \frac{r}{1 - r ^{2}})

= 2 \cdot 0.31830 \dots \cdot 2 (\frac{r}{4 - 4 r ^{2}} - \frac{1}{2} (- arcsin (r) + \frac{r}{1 - r ^{2}}))

Делаем обратную замену

= 2 \cdot 0.31830 \dots \cdot 2 \frac{sin ( arcsin ( \frac{1}{2} \cdot 2 sin ( arcsin ( 3.14159 \dots x ) ) ) )}{4 - 4 sin ^{2} ( arcsin ( \frac{1}{2} \cdot 2 sin ( arcsin ( 3.14159 \dots x ) ) ) )} - \frac{1}{2} - arcsin (sin (arcsin (\frac{1}{2} \cdot 2 sin (arcsin (3.14159 \dots x))))) + \frac{sin ( arcsin ( \frac{1}{2} \cdot 2 sin ( arcsin ( 3.14159 \dots x ) ) ) )}{1 - sin ^{2} ( arcsin ( \frac{1}{2} \cdot 2 sin ( arcsin ( 3.14159 \dots x ) ) ) )}

Упростите

2 \cdot 0.31830 \dots \cdot 2 \frac{sin ( arcsin ( \frac{1}{2} \cdot 2 sin ( arcsin ( 3.14159 \dots x ) ) ) )}{4 - 4 sin ^{2} ( arcsin ( \frac{1}{2} \cdot 2 sin ( arcsin ( 3.14159 \dots x ) ) ) )} - \frac{1}{2} - arcsin (sin (arcsin (\frac{1}{2} \cdot 2 sin (arcsin (3.14159 \dots x))))) + \frac{sin ( arcsin ( \frac{1}{2} \cdot 2 sin ( arcsin ( 3.14159 \dots x ) ) ) )}{1 - sin ^{2} ( arcsin ( \frac{1}{2} \cdot 2 sin ( arcsin ( 3.14159 \dots x ) ) ) )} : 1.27323 \dots (\frac{3.14159 \dots x}{4 - 39.47841 \dots x ^{2}} - 0.5 (- arcsin (3.14159 \dots x) + \frac{3.14159 \dots x}{1 - 9.86960 \dots x ^{2}}))

= 1.27323 \dots (\frac{3.14159 \dots x}{4 - 39.47841 \dots x ^{2}} - 0.5 (- arcsin (3.14159 \dots x) + \frac{3.14159 \dots x}{1 - 9.86960 \dots x ^{2}}))

Добавить константу к решению

= 1.27323 \dots (\frac{3.14159 \dots x}{4 - 39.47841 \dots x ^{2}} - 0.5 (- arcsin (3.14159 \dots x) + \frac{3.14159 \dots x}{1 - 9.86960 \dots x ^{2}})) + C