integral of 1/((x^2+81)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 81 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{81 ( 81 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 81 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{81 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{81} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{81} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{81} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{9} x)

ein

= \frac{1}{81} sin (arctan (\frac{1}{9} x))

Vereinfache

\frac{1}{81} sin (arctan (\frac{1}{9} x)) : \frac{x}{81 ( 81 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{81 ( 81 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{81 ( 81 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

x \to 8 lim (\frac{( x ^{2} - 5 x - 24 )}{x - 8})

\int (x + a)^{2} d x

d er i v a t i v e 7 + cot (x) - 2 csc (x)

\frac{d y}{d x} = - 3 - 2 x - y

\int \frac{1}{- x ^{2} + 8 x - 12} d x