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integral of 1/(2sin(x)-cos(x)+5)

解答

\int \frac{1}{2 sin ( x ) - cos ( x ) + 5} d x

解答

\frac{1}{5} arctan (\frac{1}{5} (3 tan (\frac{x}{2}) + 1)) + C

求解步骤

\int \frac{1}{2 sin ( x ) - cos ( x ) + 5} d x

使用换元积分法

= \int \frac{1}{3 u ^{2} + 2 u + 2} d u

对

3 u^{2} + 2 u + 2

配方:

3 (u + \frac{1}{3})^{2} + \frac{5}{3}

= \int \frac{1}{3 ( u + \frac{1}{3} ) ^{2} + \frac{5}{3}} d u

使用换元积分法

= \int \frac{3}{9 v ^{2} + 5} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{9 v ^{2} + 5} d v

使用换元积分法

= 3 \cdot \int \frac{1}{3 5 ( w ^{2} + 1 )} d w

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{3 5} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 3 \cdot \frac{1}{3 5} arctan (w)

代回

= 3 \cdot \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3}{5} (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{3}))

化简

3 \cdot \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3}{5} (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{3})) : \frac{1}{5} arctan (\frac{1}{5} (3 tan (\frac{x}{2}) + 1))

= \frac{1}{5} arctan (\frac{1}{5} (3 tan (\frac{x}{2}) + 1))

解答补常数

= \frac{1}{5} arctan (\frac{1}{5} (3 tan (\frac{x}{2}) + 1)) + C

作图

流行的例子

derivative of (sqrt(5)^x)

\frac{d}{d x} ((5)^{x})

(2sqrt(t^2+1))^'

(2 t^{2} + 1)^{^{'}}

derivative of 14e^x

\frac{d}{d x} (14 e^{x})

integral of arccot(3x)

\int arccot (3 x) d x

y^{^{'}} + y = 6