integral of sqrt((2x+1)^5)

解

\int (2 x + 1)^{5} d x

(2 x + 1)^{\frac{5}{2}} x - 5 (\frac{2}{7} x^{2} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{35} x (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{35} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}}) + C

解答ステップ

\int (2 x + 1)^{5} d x

(2 x + 1)^{5} = (2 x + 1)^{\frac{5}{2}}, （ (2 x + 1) \geq 0

と仮定

）

= \int (2 x + 1)^{\frac{5}{2}} d x

部分積分を適用する

= (2 x + 1)^{\frac{5}{2}} x - \int 5 (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} x d x

\int 5 (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} x d x = 5 (\frac{2}{7} x^{2} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{35} x (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{35} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}})

= (2 x + 1)^{\frac{5}{2}} x - 5 (\frac{2}{7} x^{2} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{35} x (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{35} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}})

定数を解答に追加する

= (2 x + 1)^{\frac{5}{2}} x - 5 (\frac{2}{7} x^{2} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{35} x (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{35} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}}) + C